Суть Вы ухватили верно. Квадрат это круг по норме $l_\infty$.

Пардон, по метрике $l_\infty$ :-)))

Это как?:)))

Возьмём 2 точки (x1,y1) и (x2,y2) на плоскости.

Обычно мы считаем расстояние по теореме Пифагора, как корень из суммы квадратов разностей координат: sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2). Это так называемая метрика l2. Но можно определять расстояние по-другому. Совсем от балды нельзя, это будет фигня какая-то, а не расстояние. Но всё-таки бывают другие разумные меры расстояния, напр., l-бесконечность. Оно определяется как максим модуля разности координат: max(|x1-x2|,|y1-y2|).

Мы можем работать с этим нелепым расстоянием почти как с нормальным. Например, можем, рассмотреть окружность, которая по определению есть множество точек, лежащих на одинаковом расстоянии от центра. Окружность по отношению к расстоянию l-бесконечность это в точности квадрат.

:-)))

В общем, не принимайте всё это близко к сердцу :-)

вот так рушится русский национализм

Да, просто надо смотреть на вещи с точки зрения бесконечности.

Вот тут ты не понял юмора.

Перевожу: "русский национализм рушится", если мы неким нелепым образом переопределяем нацию. См. ниже про льва в пустыне.

В общем ты прав, да. Мне нечего возразить по сути.

То есть возразить, конечно, есть что, и по сути, но это будет всё в духе "нет, не нелепый". Т.е. это будет долгий спор с малопонятными перспективами, который пока не стоит начинать.

То есть в некоторых случаях круг может быть квадратом. Мы математически вывели понятие "меньшинства":))). То есть не все круги квадраты, но есть круги, являющиеся квадратами (и заинтересованные в том, чтобы навязать другим кругам точку зрения о квадратности всех кругов).
Я правильно понял? Или же ваши расчеты применимы ко всем кругам вообще???

Скорей так: С некоторой точки зрения квадраты (все) являются кругами.

Ну, это еще терпимо:)

Не обращайте внимание: с точки зрения особо злоебучих метрик практически любые фигуры являются "кругами".

Есть анекдот: как поймать льва из пустыни в клетку. Ответ математика: назовем пустыню "клеткой" - лев пойман!

Да? Действительно любая фигура может быть кругом при выборе метрики? Напишите, пожалуйста, если знаете, как утверждение формулируется (ну, условие выпуклости явно будет и т.д.)

Но эль-бесконечность это не просто метрика. Во-первых, она порождена нормой, а норма это важно. А во-вторых это взгляд на вещи с точки зрения бесконечности ;-)))

Вопрос очень интересный, и я не уверен, что он решен в общем виде даже для плоскости, хотя надо посмотреть литературу.

Но вот для метрик, порожденных полунормами, известна конструкция, когда по некоторому множеству A строится полунорма p(х), для которой A={p(x)<=1}. Необходимыми и достаточными условиями на A является выпуклость, уравновешенность и поглощаемость. Определения можно посмотреть на с.3 вот этого текста (http://www.emis.de/journals/AMAPN/vol16/amapn16_3.pdf). Ключевые слова для поиска - функционал Минковского (Minkowski functional).

Если же у нас есть некоторое семейство полунорм, разделяющее точки, то легко строится метрика (как ряд).

Критерия, когда A порождает норму я что-то не вспоминаю, но это не должно быть слишком сложно(на плоскости, я думаю никаких дополнительных условий накладывать не надо, кроме условия, что 0 не лежит на границе множества A).

Про общий же случай, когда метрика произвольна, сказать что-либо затруднительно. На самом деле, я думаю, что практически любая область(открытое связное множество) может быть шаром для некотрой метрики (все на плоскости). Один из способов - это задать Риманову метрику на касательном расслоении - она порождает внутренее расстояние, которое превращает область в метрическое пространство.

Я еще подумаю - вопрос интересный.

>На самом деле, я думаю, что практически любая область(открытое связное множество) может быть шаром для некотрой метрики (все на плоскости).

Если мне не изменяет мой склероз, вроде у Колмогорова была какая-то теорема... необходимым и достаточным условием для области-шара вроде бы была выпуклость и симметричность относительно начала координат...