| |
[Dec. 27th, 2020|02:43 am] |
Геометрическая "интерпретация" идемпотентности
Чтобы вообразить идемпотентную функцию геометрически, надо рассмотреть Im f и понять, что f( f(x) ) = f(x), то есть она там тождественна. Видно, что идемпотентность - это обобщённая тождественность. Да и локальная тождественность f(x) = x даёт идемпотентность сразу, тождественная функция идемпотентна. (Заметки на полях: идемпотентность, идемпотентность, идемпотентность, идемпотентность... если повторить слово раз сто, в мозгу онемеет и отнимется нейрон, отвечающий за это слово).
Геометрически я представляю идемпотентность так: *
Для общности нарисовал неинъективную операцию. Видно, как она разделяет множество на три типа элементов. Белые элементы разок таки меняются и переходят в свои чёрные образы. Чёрные не меняются, это неподвижные точки или тривиальные циклы. И они могут быть двух типов: образы белых точек или полностью неподвижные, тождественные элементы.
Если только одни чёрные и есть в унаре, то это тождественная операция id, эдакая тривиальная идемпотентность.
Наоборот не может быть, чтобы все точки были белыми. Хоть один чёрный элемент будет с необходимостью. (Заметки на полях: за исключением пустого унара, где любое чудо может случиться, да только некому это чудо будет ощутить на себе).
Понятно также, что в тривиальном унаре чистого (свободного?) свойства идемпотентности быть не может, оно вырождается в свойство тождественности. Хотя б два элемента надо для демонстрации.
Интересно вот наблюдать, как операция со свойством идемпотентности делит множество на три класса. Есть некая "воля" у этой функции, впрочем, как и у других, наделяющих свой "мир" некоторой структурой. Значит, в философском плане функции - это субъекты, элементы - объекты. Функции - активны, обладают своей волей, действенны, элементы же - пассивны.
Это будем учитывать, когда станем определять субъекта и объекта в мире нижнем, бренном. Впрочем, поищем ещё модели. Главное, не забывать, что настоящая метафора переносит сверху вниз, из верхнего мира в нижний. Не "элемент алгебры пассивен, как камень", а "камень пассивен, как элемент алгебры".
Конечно, надо разрешить ещё некоторую кажущуюся цикличность определений, ведь сначала надо из верхнего мира перенести свойство "пассивности" и идею "воли". Ну, с пассивностью всё понятно: назовём, собственно, "пассивностью" неподвижность, как у чёрных точек на картинке. А вот "волю" определить... это будет домашнее задание... продвинутое такое... упражнение. |
|
|
