| |
[Jan. 25th, 2021|02:00 am] |
Парадоксальное вложение бинаров в унары
Понял, как естественным образом вложить бинары в унары. Неожиданно.
Казалось бы, на неком множестве бинарных операций больше, чем унарных. Бинарная операция задаётся таблицей, двумерной, её график трёхмерен. Унарная - строкой, график двумерный. (Заметки на полях: в конечном бинаре возможны n^n^2 операции, в унаре - n^n).
Но это если сравнивать на том же носителе. А применив идею рефокусирования, нужно "забыть" о мультипликативной структуре бинара и понять, что квадратное множество - это тоже множество. (Заметки на полях: причём структурно ограниченное... как мальчик из анекдота про квадратную голову).
И носитель тот же будет, квадратный, а унар будет отображать пары в пары. Функтор же будет выбирать любой элемент x' из оригинального множества и отображать бинарную операцию в "плоско"-унарную: b(x, y) = z -> u((x, y)) = (z, x'). (Заметки на полях: так же и тернары можно погрузить: (z, x', x'), и т.д.).
Это кажется парадоксальным, но после созерцания такой конструкции удивление спадает. Становится понятно, что мультипликативность множеств вводит простейшую структуру, потому ограничивает возможности. Как водится, чем структурированней структура, тем меньше таких структур наберётся.
В таком квадратном унаре график операции четырёхмерный, по сути. И изоморфно-бинарных операций там мало. (Заметки на полях: на конечном множестве меньше в n^(2n^2) / n^n^2 = n^n^2 раз). |
|
|
