|
Oct. 4th, 2021|11:58 am |
ℕ - луч унара, ℤ - обратимый однолучевой унар
Как было показано, структура унара - это унициклы (в том числе стационарные точки), лучи и их хвосты. (Заметки на полях: конечный унар лучей содержать не может).
Обычно (гм) натуральные числа вводят как классы эквивалентности конечных множеств. Однако, это определение опирается на: биекцию, эквивалентность, отношения, мощность и частично, - аппарат теории множеств.
Лучшее определение: N - луч унара как подунар (без хвостов), сразу с операцией следования. Оно опирается на более простые вещи: унарную операцию, замкнутость, изоморфизм. (Заметки на полях: это определение ближе к "аксиомам Пеано", однако, несколько циклично через степени операции).
Для унара (A, f) породим алгебру (A, f⁰ = id, f¹ = f, f², ...), итерируя операцию (композицией, степенью). Если A = N, последовательность операций схлопнется, и это (аддитивный) бинар, коммутативный моноид. Таким образом, сложение - это итерация следования. (Заметки на полях: про гипероператор в следующий раз).
Обычно целые числа вводят в два шага, - через противоположение (от моноида к группе) и вычитание (через противоположение). Так, однако, размывают главный императив: решать линейные уравнения (в бинаре, вообще, и в аддитивном N, в частности). То есть, Z суть замыкание N "по вычитанию", квазигруппа в универсально-алгебраичном смысле. (Заметки на полях: какой-то неблагозвучный русский термин у additive inverse).
Но (двойная) операция квазигруппы опирается на сложение, которое само не атомарно, да и бинарно. Можно упростить и опереться изначально на предшествование. Вычитание тогда - итерация предшествования. (Заметки на полях: итерация автоматически вводит нуль, в случае вычитания - односторонний).
Альтернативное определение: Z - обратимый однолучевой унар, - луч с "простым" хвостом. Операция является следованием, обратная операция - предшествованием, унар же - естественный биунар. Нуля изначально нет, алгебра автоморфна по сдвигам.
Поэтому любой элемент можно взять как (нульарный) нуль. Можно также нуль вводить через итерацию: или односторонний для вычитания, или двусторонний для сложения. А можно традиционным способом - через унарную операцию противоположения. Но это должен быть один и тот же нуль, так как он согласует сложение, вычитание и противоположение. (Заметки на полях: нульарный нуль - каламбур). |
|