несколько забавных школьных задачек, чтоб не забыть
все задачки, кроме одной, утащены с элементов (хотя одну из них я узнал независимо). для одной оставшейся нужно немножко знать математику.

1. группу заключенных размещают в одиночных камерах, и каждый день по одному заключенному водят в комнату с включающейся/выключающейся лампочкой, которую кроме них никто не трогает - водят так, что за бесконечное число дней каждый заключенный сходит к лампочке бесконечное число раз. в какой-то момент любой заключенный может сказать "все побывали в комнате с лампочкой". если он прав, заключенные победили. перед размещением по камерам заключенным разрешают всем вместе сговориться. могут ли они победить ?

2. троих заключенных размещают в одиночных камерах, в каждой камере одна лампочка. каждый день каждая лампочка либо весь день горит, либо весь день потушена. неопределенное количество дней лампочки зажигаются произвольным образом, но начиная с некоторого дня (неизвестно заранее, с какого) приводится в действие либо схема А - каждый день горит ровно одна лампочка, либо схема Б - каждый день горят ровно две лампочки из трёх. после того, как заключенные отсидят весь натуральный ряд дней, их собирают проголосовать независимо друг от друга за одну из схем. побеждает большинство голосов. если схема будет угадана, заключенные победили. могут ли они так сговориться перед испытанием, чтобы победить ?

3. на n заключенных надевают шляпы, на каждой шляпе одно число от 1 до n, числа могут совпадать. заключенный видит все числа, кроме своего. после этого их разводят по камерам, и там каждый называет своё число. если хотя бы один угадает, они победили. могут ли они так сговориться перед и т.п.

4. как в 2^n-1 битах закодировать 2^n-n-1 так, чтобы при ошибке в любом одном бите (либо при отсутствии ошибок) можно было исходные биты однозначно декодировать ?