> Сразу ограничимся "хорошими" функциями: если вдруг гладкость или ограниченность потребуются, считаем, что они есть.

То, что в спектре нет частот выше (какого-то конечного) f - это само по себе достаточное условие: у "нехороших" функций спектр неограничен (то есть там встречаются сколь угодно большие частоты).

> Моя ошибка была в том, что я предположил банальное приближение сигнала линейной комбинацией sin(nx), cos(nx). На самом деле же сигнал теоретически восстанавливается точно, но совсем другими функциями. Я даже не подумал о том, что такое "наличие частот в сигнале".

Восстанавливается точно, но именно этими самыми функциями. Разве что не там не целое n, а действительная омега - то есть частоты произвольны, ничему не кратны, и составляющих может быть бесконечно много.

> Далее: строим базисные функции, у которых равны нулю все измеряемые значения, кроме одного, да и частот высоких нет.

Это как? Функия типа "f(t) = 1 при t=t0, и 0 при всех других t" имеет бесконечный спектр, со сколь угодно высокими частотами.

> построенная функция — исходный сигнал

Нет. Она равна исх. сигналу в точках дискретизации. А в остальных "всяких точках" эта функция нулевая, вычислять ее и смысла нет.

> хотя его правильность для остальных функций — в каком-то смысле, вопрос веры

Нет там никаких вопросов веры, поскольку нет никаких "остальных функций" - любая функция может быть представлена как сумма синусоид, в этом и есть смысл преобразования Фурье.

(Reply to this) (Thread)

>> Далее: строим базисные функции, у которых равны нулю все измеряемые
>> значения, кроме одного, да и частот высоких нет.
>
> Это как? Функия типа "f(t) = 1 при t=t0, и 0 при всех других t" имеет
> бесконечный спектр, со сколь угодно высокими частотами.

Он написал "у которых равны нулю все измеряемые значения"
Измеряются же значения только при дискретных t, так что противоречия нет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все равно все плохо, поскольку существование функции, принимающей в заданных точках заданные значения (в данном случае - ...0, 0, 0, 1, 0, 0, 0...) и не имеющая в спектре частот, выше половины частоты дискретизации само по себе следует все из той же теоремы Котельникова.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это был план доказательства самой теоремы Котельникова…

(Reply to this) (Parent)

Следует из элементарной тригонометрии

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Из эл. тригонометрии следует разве что "существование функции, принимающей в заданных точках заданные значения (в данном случае - ...0, 0, 0, 1, 0, 0, 0...)". То, что у этой функции спектр удовлетворяет условию, следует уже не из нее.

А вот то, что такая ф-ция еще и единственная (а это важно; я в своем предыдущем комметарии не упомянул этого - виноват) - это уже утверждение, равносильное теореме Котельникова.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По-моему, равносильно только в том смысле, в котором любое утверждение равносильно столь же верному.

В "плане" я проверку единственности прописал отдельным пунктом, после построения. Спектр, естественно, проверяется по "определению" — надо делать преобразование Фурье, получать rect и умиляться.

В общем, по-моему, проблем с написанным планом нет?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В "плане" я проверку единственности прописал отдельным пунктом

Угу: "Далее проверяем единственность, если выполняется единственность (из функций рассматриваемого типа нет двух с одинаковыми значениями такой ИКМ)". Что такое "рассматриваемый тип"? Суммы sinc'ов? Или "функции, в спектре которых нет частот выше половины частоты дискретизации"? В первом случае эта единственность не дает вообще ничего, во втором - это утверждение (что через данные точки проходит только одна ф-ция с ограниченным спектром) равносильно теореме Котельникова. Даже не "равносильно", а это она и есть.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Конечно, "рассматриваемый тип" — "хорошие" функции с хорошим спектром.

Даже не "равносильно", а это она и есть.
Нет, теорема Котельникова важна и конкретным построением. Собственно, без него я бы писал не о ней, а о теореме, которая это построение предоставляет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Нет, теорема Котельникова важна и конкретным построением. Собственно, без него я бы писал не о ней, а о теореме, которая это построение предоставляет.

Практической пользы от этого конкретного построения гораздо меньше, чем может показаться на первый взгляд. ;-)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Поэтому может быть практическая польза, например, в более высокой частоте дискретизации.

(Reply to this) (Parent)

А у Вас, кстати, как с представлением о цифровом звуке (от измерения ИКМ/СДМ до проблем динамиков-наушников, кабелей, предусилителей и понимания того, что же такое "электростатические наушники")? Нет советов-ссылок?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А то так кушать хочется, что прямо переночевать негде ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

У меня тоже нет.

(Reply to this) (Parent)

у "нехороших" функций спектр неограничен
Я боюсь думать о том, как относиться к обратному преобразованию Фурье всевозможных функций (обобщённых, ибо уже необходимые синусы-экспоненты после преобразования выражаются через δ-функцию) с носителем, лежащим в некотором интервале. Всё-таки преобразование Фурье для чего только не определено (в смысле обобщённых функций всяких), так что пока я считаю, что наличие значений энергий звуковых волн и свойства преобразования Фурье связаны прямо, но отмечаю, что подводные камни возникнуть в принципе здесь могут. Или есть какой-то канонический взгляд?

Восстанавливается точно, но именно этими самыми функциями. Разве что не там не целое n, а действительная омега - то есть частоты произвольны, ничему не кратны, и составляющих может быть бесконечно много.
Так не считается. Но про то, что Вы написали, я в курсе: поэтому я подумал раньше (не прочитав доказательства), что теорема Котельникова — практическая теорема об огрублении (разве что я как-то совсем через чур огрубил). Разве что я не понимаю, зачем произвольные ω? Если можно брать бесконечный ряд, то можно обойтись целыми. Обычный же ряд Фурье.

Это как? Функия типа "f(t) = 1 при t=t0, и 0 при всех других t" имеет бесконечный спектр, со сколь угодно высокими частотами.
(Уже пояснили, что имеются в виду sinc-и, у которых со спектром всё в порядке [rect-ы].)

Нет. Она равна исх. сигналу в точках дискретизации. А в остальных "всяких точках" эта функция нулевая, вычислять ее и смысла нет.
(см. непонимание)

Нет там никаких вопросов веры
См. выше: связь абстрактного преобразования Фурье и реальных сигналов при всяких предельных переходах становится вопросом веры. Для конечных сумм синусоид, видимо, вера в модель очень крепкая, для того, что так не представляется — вопрос веры.


поскольку нет никаких "остальных функций" - любая функция может быть представлена как сумма синусоид, в этом и есть смысл преобразования Фурье.
В этом смысл ряда Фурье, а не преобразования. Или о чём Вы? Преобразование Фурье в нашем контексте — для определения спектра и достаточно тупых построений, которые по простому приведённому плану дают полное доказательство теоремы Котельникова. Я его на этот раз прочитал.

"Остальные функции" — я решил, что так проще, чем возиться с математическим определением сигнала.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В этом смысл ряда Фурье, а не преобразования. Или о чём Вы?

Смысл ряда Фурье в том, что любую _периодическую_ функцию можно представить в виде суммы синусоид частотами, кратными 1/T.

Преобразование Фурье - более общая вещь: оно позволяет разложить на синусоиды (теперь уже - с произвольными частотами) _любую_ функцию.

> Разве что я не понимаю, зачем произвольные ω? Если можно брать бесконечный ряд, то можно обойтись целыми. Обычный же ряд Фурье.

Сумма синусоид с "целыми" частотами (то есть обычный ряд Фурье) будет - очевидно - периодической функцией. Вот именно поэтому для представления непериодических функций требуются произвольные омеги.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Может Вы интеграл Фурье имели в виду (f(x)=интеграл(a(ω)sin(ωx)+b(ω)cos(ωx))dω)?

Периодичность большой роли не играет. С ней можно по-разному бороться. Нам же плевать на значения функции за интервалом, так что можем чуть сузив считать её периодической.

Упражнения какие-то по успешному приближению реально непериодических функций вроде бы в ВУЗе делали, хотя детали трудно вспомнить.

Мы можем каждые пол-секунды, например, восстанавливать почти секунду сигнала, а выдавать среднее от восстановленных для данного момента значений.

Хотя это и может вызвать теоретические проблемы ("почти секунда" должна позволять продолжить функцию до периодической без появления высоких частот), они не кажутся принципиальными, по сравнению с тем, что метод гораздо более грубый, чем предполагаемый в теореме Котельникова: для сколь угодно близкого приближения нужны слагаемые, соответствующие сколь угодно высоким частотам, а я когда-то сглючив предлагал использовать только первые несколько членов (до частоты-ограничения), так как неосмотрительно решил, что это халявная теорема.

В общем, ряд Фурье не годится, раз есть sinc-и, а остальное просто неважно.

(Хотя если я не завязну и продолжу изучать вопрос, может оказаться, что человеку фазы не столь важны [они не могут быть очень важны, иначе расположению колонок уделяли бы больше внимания, например], частоты важны только с определённой точностью, так что обрубок ряда Фурье вполне сойдёт. Сейчас я об этих требованиях к слышимому звуку понятия не имею.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Нам же плевать на значения функции за интервалом,

Вообще-то, когда говорится о том, можно точно восстанвить функцию (с огр. спектром) по дискр. отсчетам, имеется в виду - по бесконечному кол-ву отсчетов. По нескольким отсчетам (то есть по данным с конечного интервала) точно восстановить ничего нельзя. И sinc'и не помогут.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

И sinc'и не помогут.
Да. Теорема, конечно, хорошая, но много непонятного для практики.

Потому предстоит изучать, на каком этапе на практике на что забивают…

Собственно, звук, который появился и исчез,— вроде бы уже проблема.

То есть, грубо записывая: rect(ax)*sin(bx) имеет неограниченный спектр (без постоянных множителей — сумма двух sinc-ов, вроде, они не обнуляют друг друга обычно, так что носитель неограниченный). Потому что преобразование Фурье показывает не отсутствие присутствия волн высокой энергии, а нечто другое.

(Reply to this) (Parent)

> На самом деле же сигнал теоретически восстанавливается точно, но совсем другими функциями.

> строим базисные функции, у которых равны нулю все измеряемые значения, кроме одного, да и частот высоких нет.

Вас, кажется, смутила функция sinc x = (sin x)/x, которая часто всплывает при изложении теоремы Котельникова. Действительно, у нее один отсчет - 1, остальные 0, и любую последовательность отсчетов можно представить в виде суммы sinc'ов (а то, что у sinc'а в спектре нет больших частот, известно). Однако, все это - полезные побочные эффекты теоремы Котельникова, но никак не ее суть.

(Reply to this) (Thread)

Скорее меня смутило, что сигнал на выход сложнее создавать по этим sinc-ам, чем по синусоидам.

А в чём суть?

Мне хочется проследить актуальную для популярной аппаратуры (на компьютере) цепочку звук->оцифровка->звук на вопрос критических к качеству узлов (грубо говоря: покупать усилитель за 100000 р. и колонки за 50000 р. для встроенной звуковой карты или звуковую карту за 10000 р., а колонки за 100000 р., с усилителем за 40000 р. [у меня звуковая карта дешевле 10000 р., наушники дешевле 10000 р., а усилитель-колонки продвинутые я покупать не планирую вообще, хотя о преимуществах колонок перед наушниками читал: типа, тело чувствует частоты до 500 Гц неплохо, наушники же только на уши]).

На данный момент понята только теорема Котельникова. Я не оценил даже эффект от "глубины" звука супротив повышения частоты дискретизации (как соотносятся ошибки округления?).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> А в чём суть?

Теоремы Котельникова? В том, что функция, не имеющая в спектре частот выше (или равных) F, то она однозначно задается своими дискретными отсчетами, взятыми с частотой 2F. Если частота оцифровки меньше 2F - неизбежны потери; а с другой стороны, цифровать сигнал с большей частотой нет никакого смысла - доп. информации мы уже не получим. Вот, собственно говоря, и все.

> Я не оценил даже эффект от "глубины" звука супротив повышения частоты дискретизации (как соотносятся ошибки округления?).

Вещи это - как мне кажется - малосвязанные, так что сравнивать их "супротив" особого смысла нет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

то она однозначно задается своими дискретными отсчетами, взятыми с частотой 2F
Кстати, неравенство строгое (с частотой F корней подходящей синусоиды как раз хватит, чтобы спутать её с нулём).

Но этот смысл я понял.

Вещи это - как мне кажется - малосвязанные, так что сравнивать их "супротив" особого смысла нет.
Дело в том, что при приближённых вычислениях то, что мы приближённо восстановим, будет не исходным сигналом.

Если бы "глубина" была "бесконечной" (результат измерения — точное вещественное число), то понятно, что информация о сигнале полная.

Если же дискретизация не только по времени, но и по разделению на уровни сигнала, то возникает вопрос в возможной величине ошибки (да и точные значения измерений могут сами по себе не быть значениями сигнала с ограниченной частотой, например). Поэтому мой вопрос — как влияют на точность дополнительные (в результате увеличения частоты дискретизации) измерения, супротив увеличения "глубины".

с другой стороны, цифровать сигнал с большей частотой нет никакого смысла - доп. информации мы уже не получим.
В реальных условиях (кроме абзаца выше), польза от увеличения частоты дискретизации может быть в упрощении работы: может вычислительные методы попроще удастся использовать. Эта проблема мне неясна, но ссылки на неё я неоднократно встречал (для того, чтобы оценить её существенность, надо узнать, как реально восстанавливают звук по сохранённым измерениям).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Кстати, неравенство строгое (с частотой F корней подходящей синусоиды как раз хватит, чтобы спутать её с нулём).

Так я, вроде бы, так и сказал "не имеющая в спектре частот выше (или равных) F".

> Поэтому мой вопрос — как влияют на точность дополнительные ... измерения, супротив увеличения "глубины".

Если очень грубо - то удвоение частоты дискретизации даст тот же эффект, что увеличение "глубины" на 1 бит.

> В реальных условиях

В реальных условиях мы и не имеем дело с бесконечным числом идеально точных отсчетов. И сигналов, в спектре которых нет высоких частот в реальных условиях тоже не бывает. Теорема Котельникова совсем не про реальные условия. Как и sinc'и.

И в реальных условиях польза от увеличения частоты дискретизации очень даже есть, кто бы спорил.

> как реально восстанавливают звук по сохранённым измерениям

Сохр. измерения описывают некий ступенчатый сигнал. Если такой сигнал пропустить через фильтр высоких частот (который пропускает все, что ниже половины частоты дискр. и режет все, что выше), то в итоге должен получиться исходный сигнал.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так я, вроде бы, так и сказал
Да, я бессмысленное повторение написал.

Если очень грубо - то удвоение частоты дискретизации даст тот же эффект, что увеличение "глубины" на 1 бит.
Почему? "Бухгалтерски" по-разному можно подсчитать.

И в реальных условиях польза от увеличения частоты дискретизации очень даже есть, кто бы спорил.
Ну как, спорят. Lavry вот спорит (попал в источники Википедии, хотя заинтересованное лицо): типа, бессмысленно, а точность, якобы, падает на высоких частотах, а данные больше места занимают.

Сохр. измерения описывают некий ступенчатый сигнал. Если такой сигнал пропустить через фильтр высоких частот (который пропускает все, что ниже половины частоты дискр. и режет все, что выше), то в итоге должен получиться исходный сигнал.
Ссылка хорошая с подробностями есть (какие фильтры, как "подравнивают" ступеньки)?

(Я, кстати, как-то писал программу для вычисления параметров, чтобы делать фильтры частот: фигня, для диплома чьего-то [научный руководитель, кстати, и не требовал от защищающегося собственноручного написания программы], но помню, что вопросы устойчивости не волновали никого нисколько, как и многое другое.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Почему?

При увеличении глубины на 1 бит амплитуда шума квантования становится в 2 раза меньше. А при увеличении частоты дискр. в 2 раза половина этого шума оказывается в высокочастотной области, и его можно отфильтровать. И в том и в другом случае энергия шума кв. в интересующей нас полосе частот становится в два раза ниже.

Но на практике все не так просто, разумеется.

> Ссылка хорошая с подробностями есть

Если есть, то я о ней не знаю :-(

(Reply to this) (Parent)