| Булевы алгебры |
Dec. 25th, 2021|01:35 pm |
Изрядное количество сил и времени было потрачено на изучение булевых алгебр. Меня это тема заинтересовала так как казалась совершенно элементарной. Тем не менее я видел, что по ней есть какие-то толстые книги, пишутся статьи. И меня это давно интриговало.
Оказалось, что эту тему нельзя путать с алгеброй-логикой как теорией для анализа всяких интегральных схем, которую я бы отнес скорее к дискретной математики. Тут речь идет об изучении колец с отношением $x^2 = x$. Если кольцо, как положено, с единицей, то такая структура называется булевой алгеброй. А если единицы может не быть, то булевым кольцом. Такая вот путаница. Тривиальные примеры булевых алгебр: кольцо с одним элементом, поле с двумя элементами, подмножества фиксированного множества. Булево кольцо, которое не является булевой алгеброй, это, например, конечные множества целых чисел. Легко доказать, что любая булева алгебра будет коммутативной и иметь характеристику 2. Но обратное не верно, например нетривиальное расширение Галуа поля из двух элементов булевой алгеброй уже не будет. Смысл тут в том, что задавая отношение $x^2 = x$ мы получаем как-бы бесточечную (pointfree или pointless) модель наивной теории множеств, или не только наивной если рассматривать булевы кольца, при этом саму являющееся множеством. Отсюда переносятся все теоретико-множественные операции и понятие порядка. Например, порядок определятся чисто алгебраическими средствами как $x \le y \iff xy = x$, а операция объединения как $x \cup y = x + y + xy$. При этом у нас получается дистрибутивная решетка. А самым полезным из базовой теории оказалось понятие о разбиении единицы в булевой алгебре.
Однако, у нас до сих пор остается не закрыт вопрос, к какому разделу математики относить булевы алгебры? Как я уже сказал выше к дискретной математики они не относятся, и к логике их можно отнести только в силу инертности мышления. На первый взгляд это чисто алгебраическая теория, Однако как мы увидим в дальнейшем общая топология там используется довольно интенсивно. Потому просто к алгебре или тем более к топологии относить эту теорию нельзя. Один мой учитель однажды сказал, что анализ это алгебра с топологией, а тут мы имеем дело именно с эти. Поэтому буду относить алгебры к анализу. А именно к анализу алгебраическому или, если на меня обидятся любители микро и макро-локальных функций, то к аналитической алгебре. Пререквизиты к изучению этой темы это общая топология и один семестр абстрактной алгебры. Еще полезно быть знакомым с ординальными числами. Поэтому изучить все можно на втором курсе или еще раньше.
Изучал я эту теорию по учебнику Фремлина, а именно главам 31 и 38. Он особенно хорош тем, все выложен в виде теховских исходников и pdf на сайте автора, а значит учебник не скован обычными ограничениями книгоиздания. Причем, можно скачать ro (result only) версию, где будут только определения и формулировки теорем. И таким образом сразу получится подобие листочка. Недостаток такой версии в том, что там не будет и задачек и концептуальных комментариев из основной версии. А задачек там довольно много, они разделены на две категории, но скорее не по сложности, а по необходимости наличия внешних знаний. Что-то из этих задачек я решал, что-то решал из RO версий, а когда RO становились слишком сложными, то читал обычную версию. Из альтернативной литературы можно отметить Халмоша, у которого есть две книги разной сложности. Та которая посложнее вроде содержит все необходимые темы, и может подойти тем, кто не хочет слишком сильно разбрасываться камни. На Русском языке по этой теме есть Владимиров и переведенная классика Сикорский. И если Сикорский довольно сильно устарел, то Владимиров, хотя читать старую книгу может быть довольно сложновато, выделяется приложениями булевых алгебр к функциональному анализу, и в особенности к спектральным мерам операторов. Есть еще брошюра Подзорова из НГУ, но там большой упор сделан на приложения к матлогики и основаниям математики. А еще если хочется обдрочиться, то можно взять трехтомник под редакцией Монка "handbook of Boolean algebras".
Теперь перейдем собственно к содержанию. Связь с топологией обеспечивается тем, для изучения булевых алгебр активно используются пространства Стоуна или просто функтор Стоуна. Этот функтор сопоставляет каждому булевому кольцу локально-компактное ноль-мерное Хаусдорффово пространство ненулевых морфизмов из самого кольца в поле из двух элементов. Каждому элементу булевой алгебры в таком пространстве соответствует открытый компакт. И порядок тут переносится как порядок вложений. Поэтому, если булевой была алгебра, то её пространство Стоуна будет компактно. Однако существований этой конструкции в общем случае неконструктивно и требует работы с ультрафильтрами. Но, так как многие факты про булевы алгебры доказываются именно через пространства Стоуна, то можно представить, что мы имеем дело с алгебраической топологией шиворот-навыворот! То есть исследуем регулярные алгебраические структуры с помощью функтора в топологические пространства. функтор это, между прочим контравариантный. Стрелочки поворачиваются! И произведения становятся копроизведениями и наоборот. То есть, декартовым произведениям булевых алгебр соответствует несвязные объединения пространств Стоуна, а их тензорным произведениям уже декартовы произведения пространств Стоуна. Все это очень просто и логично если подумать про конечные аналоги и их комбинаторику.
Еще есть очень важные понятия о (секвенциональной) полноте, замкнутости и непрерывности в смысле порядка или по Дедекинду. Владимиров для этих целей вводит специальные топологии, а Фремлин вводит все эти понятия Ad Hoc, и, на мой взгляд, второй путь проще и понятней. Ведь речь тут идет просто про существование и сохранение инфов и супов в булевом порядке. Когда в курсе теории вероятностей говорят про сигма-алгебры, то это сокращение для "секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры подмножеств". Поэтому дальше все секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры буду называть просто сигма-алгебрами. А просто замкнутые по Дедекинду булевы алгебры я буду называть тау-алгебрам, потому что Т в алфавите идет после С. В целом это лютый абьюз оф нотэйшен, но сам Фремлин использует буквы сигма и тау для обозначения соответствующих замыканий. Пример булевой алгебры, не являющейся сигма-алгеброй, это алгебра конечных-коконечных подмножеств целых чисел. А пример сигма-алгебры не являющейся тау-алгеброй, это например известная Борелева алгебра на действительных числах. Интересные результаты тут это теорема Лумиса-Сикорского про то, что любая сигма-алгебра представляется как фактор сигма-алгебры подмножеств по какому-то сигма-идеалу. Еще есть интересная конструкция замыкания через построения алгебры открытых областей или регулярных открытых множеств в пространстве Стоуна со всеми универсальными свойствами замыкания. Другая возможная конструкция замыкания это алгебра идеалов, но она сильнее выносит мозг, так как операции с идеалами отличаются от обычной алгебры множеств. Самый полезный тут факт такой, что любой автоморфизм булевой алгебры тау-непрерывен.
В начале главы 38 Фремлин подробно разбирается с группой автоморфизмов булевой алгебры. Все по программе Клейна. Тут напрашивается удивительная аналогия с эргодической теорией. Тут у нас элементы булевой алгебры это регионы пространства, автоморфизмы это динамические процессы, а их степени это дискретное время. Отсюда берется представление об эргодических, смешивающих, рекуррентных и апериодических автоморфизмах. Все это создает ощущение не просто бесточечной (pointfree и pointless) эргодической теории, а эргодической теории совершено абстрактной и пустой, лишенной каких-либо конкретных измерений. Сам Фремлин пишет, что ничего полезного в нормальной эргодической теории доказать нельзя, а воспринимать эту теорию нужно скорее как модель для углубления понимания и вдохновения. В конце как вишенку на торте я разбирал теоремы про факторизацию автоморфизмов на т. н. обменивающие инволюции. Это все из далека очень напоминало теоремы из аффинной геометрии про представление поворотов в произведений отражений. Но на практике там оказалось длинное, техническое, "комбинаторно" доказательство. Такое доказательство может занять ни одну лекцию (интересно, что Фремлин противник лекций как метода обучения). Но в итоге результат звучит так, что в тау-алгебре любой автоморфизм представляется как произведение не более чем трех инволюций. Отсюда следует определенный подход к подсчету нормальных подгрупп и критерии простоты. В частности можно доказать, что у группы автоморфизмов Борелевской сигма-алгебры действительной прямой только три нетривиальные нормальные подгруппы. На мой взгляд, удивительное утверждение на стыке элементарной алгебры и элементарного анализа.
Из тем, к которым можно было бы вернуться я бы отметил теорию простых функций, но там в качестве пререквизита требуется знание упорядоченных топологических пространств, которые я не доучил в прошлый раз. Еще можно почитать про спектральные меры у Владимирова. Или про приложения к матлогике у Подзорова и Монка. Но я в ближайшее время этого делать не буду. Намного интереснее было бы изучать булевы алгебры с мерой, или нормированные алгебры как их называет Владимиров. Но перед этим я хотел бы вернуться к дескриптивной теории множеств.
В целом я очень расстроен тем, что взялся за изучение булевых алгебр. Теперь они у меня в мозгу булят другие алгебры, например, квадратичные. А я никакие формы булинга не одобряю, особенно квадратичные! |
|