| Общая Топология |
[Sep. 9th, 2020|08:38 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  sleepy | ] |
Недавно закончил повторять для себя общую топологию, поэтому решил написать этот пост, чтобы зафиксировать мысли об этой науки.
С той точки зрения, что математика это продолженная логика, общая топология — это логика пространства. А учитывая то, что любая хорошая философия полностью сводится к математики и логики, получается что общая топология это совершено общая и правильная философия пространства. И любые попытки придумать новую философию пространства, и, кстати, времени, всегда обречены на переизобретение той же самой науки — общей топологии. И это делает все попытки философов заниматься этой областью совершенно тщетным и бессмысленными. Что, кстати, отчасти делает совершенно неактуальной и физику Аристотеля. Поэтому, если вас интересует такая философия, то лучше изучайте топологию, а не Аристотеля.
Если конкретней, то в общей топологии пространство определяется путем выделения открытых и замкнутых множеств. У этой конструкции есть интересная интерпретация через теорию вычислений. В ней открытые множества соответствуют утверждениям про элементы пространства, которые можно алгоритмически проверить истинность этого утверждения для любой конкретной точки за конечное время. А замкнутые множества утверждениям которые подобным образом опровергаются. Причем, при этой модели вычислений можно запускать параллельно бесконечное количество алгоритмов. Из этой идеи легко выводятся все остальные аксиомы топологического пространства. Вроде бы это придумал Джет Неструев. Интересно подумать, как это подход ложится на остальные топологические концепции?
Говорят, что общая топология это мертвая наука. И действительно, по ядерным для нее темам почти не выходит новых статей. Поэтому молодому математику сделать карьеру занимаясь чистой общей топологией практически невозможно. Однако знать эту науку тем не менее нужно хорошо. Если сильно упрощать, то тут речь идет о расширение концепций анализа, связанных с понятием предела, на случай разных патологий, связанных с тем, что рассматриваемые пространства отличаются от действительной прямой. В самом знакомстве с этими патологиями нет большой ценности, но она есть в умении узнавать и наличие и отсутствие. И использовать знание регулярность для упрощения доказательств других интересных фактов, а знание нерегулярности ля того, чтобы не попадать в глупые ловушки. В целом хорошее знание общей топологии необходимо для изучения дифференциальной, метрической и алгебраической геометрии, дифференциальной и алгебраической же топологии, функционального анализе и теории динамических систем.
Однако прим моем недавнем погружении в эту науку я обнаружен некоторые ее разделы, которые не входят в базовый курс. Одна из этих тем связана с подробным изучением свойств Стоун-Чеховских компактификаций всяких простых пространств типа множества целых чисел. Отсюда еще получается теория странных конструкций, называемых ростами (grow). И все это дело еще как-то применяется, причем к теории Рамсея. Но я в это особо не погружался, это так сказать наметки на будущее. Еще можно попробовать изучать топологические группы в контексте топологической же динамики. Но мне лень погружаться в эти топологические группы на 100% и я разобрал только самые базовые теоремы.
Вот вам в качестве бонуса набор обзоров на книжки, которые я изучил, ознакомился или просто был наслышан, и которые я могу рекомендовать для изучения этой науки. Пойдем от простого к сложному:
Для начала очень рекомендую Мишин Начальный курс в листочках: задачи и теоремы. Тут основной материал дается в задачах. И встать на лыжи можно очень быстро. Все пререквизиты есть в самой книжки. Поэтому можно браться с любым бэкграундом, даже простым школьникам. Есть вводные темы для алгебраической топологии. И хочется отметить упор на изучение метрических пространств, которые могут оказаться особо полезными практикующему математику.
Если этих материалов будет мало, то можно взять Виро и др. Элементарная топология: учебник в задачах . Тут тоже изложение в задачах, и я это люблю. Это книга уже потолще, и тем там соответственно больше. Но оборотная сторона медали тут в том, что не все может быть интересно.
Если же Мишина книга кажется слишком сложной, то можно почитать Topology without tears. Это вроде бы одна из самых элементарных книг. Но я ее не читал и поручиться за качество не могу. Тем относящихся к алгебраической топологии тут вроде нет.
Если не нравится изложение в задачах, но хочется среднего уровня изложения, то можно почитать Мункреса. Это книгу также стоит читать, если есть желание быть на одной волне с усредненным американским студентом. Однако, предупреждаю, что Мункрес жуткий зануда. Тут есть подготовка к алгебраической топологии.
Есть Виллард и Нагата, которые вроде как сложнее Мункреса. Но я их не читал. Из экзотики есть учебник Янич, где общая и алгебраическая топология перемешана в кучу.Рекомендую новичкам, чтобы расширить сознание. Далее идут учебники в каком-то смысле узко-специализированные.
Во первых, очень понравился учебник Wilansky, Topology for Analysis. Эот учебник явно сложнее предыдущих. И там подробно изложена тема метризации и компактификации. А также подробно разобраны такие темы как равномерные пространства и топологические группы, на которые обычно не хватает места в обычном курсе топологии. Нет тем из алгебраической топологии вроде фундаментальной группе, но есть темы из функционального анализа. Что закономерно ожидать от книги с таким названием. Довольно много задач, которые разбиты на разные уровни сложности, и куда вынесена вся уже совсем дикая экзотика.
Однако более интересным современным студентам может показаться новый учебник Брэдли с категорным уклоном. О нем я писал раньше.
Самым сложным учебник, который я читал, это Энгелькинг. Тут много экзотики и тоже нет подготовки к алгебраической топологии. Мне понравилась тут первая глава, где определения элементарных свойств топологического пространства обсасывается со всех сторон. Я даже решил в этой главе все задачки, которых тут превеликое множество. Однако мне не понравилась вторая глава, где вроде как речь должна идти о пределах в категории топологических пространств, однако из-за архаичности книги вся нормальная теория категорий засовывается под ковер. А потом стало совсем уныло, так как все подряд тут проращивать я не стал. Короче, эта книга чуть не стала моим персональным Лораном Шварцем. Но потом я перешел к Виланскому, который написан намного более интересно. Однако, эта книга может понравиться если Вам интересны кардинальные функции.
Еще есть книга Нагаты-Морита, но это список продвинутых тем для аспирантов. |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}