| Локалические Топосы |
Sep. 8th, 2024|08:06 pm |
Значит так, локалические топосы — это localic topoi или localic toposes. Не знаю как точно переводить слова localic, но точно не как «локальный».
 
Локаличечкие топосы — это топосы эквивалентные топосам пучков на локалях. Что такое локали я уже рассказывал в серии постов по бессмысленной топологии. Мак Лейн тоже начинает с введения в этот предмет, крайне неплохого. Меня зацепило, что он тут вводит понятие шизофренического объекта. Шизофренический объект существует в контексте двух двойственных категорий. И операция морфизмы в шизо-объект позволяет переходить между этими категориями каноническим образом. В контексте двойственности Понтрягина шизо-объект — это окружность. А в контексте двойственности Стоуна шизо-объект — это множество из двух элементов.
Мне также нравится как про локалические топосы написано у Джонстона во втором томе его книги «Sketches of the Elephant». Там в начале развивается теория локалических топосов, а потому уже на их основе формулируется более общая теория топосов Гротендика. Еще я нашел записки курса Джэйкоба Лурье. Там тоже есть все необходимые сведенья.
Важный факт про локалические топосы такой, что любой топос пучков на частично упорядоченном множестве будет локалическим.
Также тут появляются такой важный объект как открытые геометрические морфизмы. Тут есть прямая связь с открытыми отображениями в общей топологии. Но также открытые геометрические морфизмы можно описать и чисто логически как функторы сохраняющие определенные логические кванторы в топосах. Эта тема требует некоторой технической работы.
Первая главная теорема этого раздела это теорема Барра. Теорема Барра говорит, что любой топос Гротендика накрывается сверху топосом пучков на полной булевой алгебре. Для доказательства этого результата используется другой примечательный факт известный как теорема о накрытиях Дьяконенку. Эта теорема утверждает, что любой топос Гротендика можно накрыть сверху локалической категорией геометрически и открыто. Наверное с точки зрения логики это означает, что любую математическую вселенную можно достаточно хорошо описать с помощью правильной неклассической логики, и с определенным приближение и правильной классической логикой.
Вторая именная теорема в этой главе — это теорема Делиня, которая утверждает, что в любом когерентном топосе достаточно точек. Грубо говоря когерентные топосы — это топосы Гротендика, заданные на ситусе с всеми пределами и с локально-конечной базой покрытий. Когерентные пространства — это топологические пространства с базой топологии из конечных множеств. Кажется, что после такой аналогии все должно быть понятно. Когда говорят, что у топоса достаточно точек, то под точками понимают функторы в этот топос из категории SET. И то что их достаточно означает, что для двух различных геометричесх морфизмов из этого топоса всегда найдется точка, которая их различит. Мак Лейн загадочно замечает, что эта теорема является аналогом теоремы Геделя о полноте для топосов. Но если я правильно помню, то теорема Геделя о полноте эквивалентна теореме о компакектности в логике. Которую тоже можно сводить к изучению компактности Стоуновского пространства алгебры Линденбаума этой логики. Кажется, что тут когерентность как-раз оказывается правильным переформулированным условием компактности. Потому что тут у Мак Лейна все как раз доказывается через пространства Стоуна. Но все это можно будет полностью осознать только прочитав следующую главу.
Для меня лично эта теория крайне важна. Но я не уверен, что я во всем полностью разобрался. наверное придется еще читать Джонстона или Лурье. |
|