> А что будет составлять эту часть с анализом?
Временные понятия интеграла и интегрируемой функции на компактном отрезке, как равномерного предела локально постоянных (иными словами, ступенчатых) функций, и простые стандартные факты.

> Можно ли назвать анализом некоторые части (которые пока доступны) текстов по метрической и общей топологии?
На этот вопрос трудно ответить. (Назвать можно что угодно чем угодно.)
Другое дело, что многое из того, что уже сделано (и довольно много из предстоящего), составляет ощутимую порцию материала, традиционно называемого анализом. Если же говорить о функциональном анализе, то демаркационная линия между ним и метрической топологией тоже весьма условна до появления теории меры (да и после тоже неотчетлива).