sasha_a's Journal

Несколько бессвязных слов про (математическое) преподавание
[слегка отредактированная "дискуссия"]
Есть те, которые знают, и те, которые этому учат.
Подозреваю, что многое написанное ниже приложимо к преподаванию и в большинстве других областей. Кроме того, все это лишь мои личные наблюдения.

Игровой метод подачи материала не очень хорошая идея.
Смотря что под этим имееть ввиду.
В прошедшем семестре читал курс довольно тупым бразильским студентам из computer science, многим из которых лишь бы оценку получить. Решил перейти на Гельфанд style с анекдотами (комментирующими то, что изучаем), киданием в опоздавших тенисных мячиков и т.п. БОльшая половина проснулась и даже заинтересовалась, поскольку была удивлена и шокирована. Они даже клип потом про мои лекции сделали. Короче говоря, горжусь тем, что народ начал думать. (Хотя другая половина группы осталась безучастной. Такие всегда есть и им хоть кол на голове теши.)

У обучения должна быть цель.
После обретения знания можно уже говорить о каком-то творчестве.
Все в точности наоборот. По-настоящему новому научиться может лишь тот, в котором не убит ребенок. Традиционные же методы обучения безумно анахроничны, в особенности потому, что убивают творческое начало.

Ясно, что заучивание наизусть не имеет никакого смысла, в наши-то времена.

Типичная ситуация в процессе обучения это когда "профессор" излагает свое видение предмета. Слушатель как правило спит, то есть не думает, потому что недостаточно вовлечен, ему не очень интересно. Или же напряжен, "силится понять", но не в силах начать думать и, тем самым, понимать. Нынче все уже хорошо знают, что обучение должно быть интерактивным. Но тут есть еще одна проблема, со стороны обучаемого. Часто он не может сформулировать правильные/грамотные вопросы. И все снова возвращается к разглагольствованию "профессора".

Осмысленное понимание предмета изучения это и есть, если угодно, цель. То есть, чем больше, интенсивнее, человек думает (медитирует) о предмете, тем лучше он его понимает. Нужно лишь
--- спровоцировать на мыслительную деятельность (надеюсь это не секрет, что люди априори склонны ее избегать)
и
--- помочь двигаться в правильном направлении.

Как спровоцировать?
Один из способов --- игра. Не случайно же дети играют --- они изучают мир с интенсивностью на несколько порядков большей, чем "взрослые". Всякие козлята и львята --- это разумеется глупость, в том числе и для самых маленьких. Играть надо всеми фибрами так, чтобы было жутко интересно.

Первое, что можно сделать --- снять бессмысленное напряжение. Оно не способствует мышлению, которому нужна свобода, а не оковы. Здесь хорошо работает например Гельфанд style --- анекдоты, шутки (вообще, смеяться полезно). От "профессора" требуется также умение "читать мысли". При хорошем понимании предмета не очень трудно предположить (и увидеть), какие мысли посещают обучаемого. Тогда можно добиться иллюзии, что "ученик" все понял сам (или почти сам). Скорость и, главное, качество такого способа обучения несравнимо выше.

Остается заметить, что мышление --- это всегда творческий процесс.

Всякие там средства, интернет, компьютеры могут сильно помочь. Но суть не в них.

Наконец, старые книжки практически всегда плохи просто потому, что люди быстро умнеют. Разве что, никто из нынешних (хорошо понимающих предмет, разумеется) не удосужился переизложить тему, но такое редко случается.

Иллюстрация Гельфанд style
[в далеко не лучшем исполнении]

Как представить себе жизнь в пространстве de Sitter'a сигнатуры ++--? Что? Вы хотите сказать. что оно должно иметь сигнатуру +++--? Ладно. Пусть это будет BS --- baby sitter сигнатуры ++--. (А не bull shit, как вы подумали.)

Возьмем обычный 3-х мерный вещественно-гиперболический шар H_R^3. Его можно описАть как часть проективного пространства RP^2V, состоящую из положительных точек, где V --- R-линейное пространство сигнатуры +---. Гиперболическая метрика в шаре H_R^3 получается так: касательное пространство к точке p\in RP^2V стандартно отождествляется с Lin(p,V/p) ...

Дословно то же самое верно и для грассманиана Gr(k,V) k-мерных R-линейных подпространств в V. Им и займемся: T_pGr(k,V)=Lin(p,V/p)=Lin(p,p')\subset Lin(V,V), если k-мерное подпространство p невырождено, где p+p'=V --- ортогональное разложение. Форма следа в Lin(V,V) индуцирует невырожденную форму в T_pGr(k,V), т.е., в невырожденных точках грассманиана получаем псевдо-риманову метрику.

Возвращаясь к H_R^3, получаем стандартную гиперболическую метрику.

Рассмотрим теперь пространство всех геодезических в H_R^3. Это просто-напросто Gr(2,V). Точки из Gr(2,V) --- это проективные прямые в RP^2V. Если такая прямая p проходит через гиперболический шар H_R^3 (это означает, что p имеет сигнатуру +-), то она в нем обычная прямая как и положено в модели Кляйна-Бельтрами (произношение пожилого человека).
Если p имеет сигнатуру ++, то эта геодезическая целиком живет за абсолютом (т.е. за границей шара H_R^3, состоящей из вырожденных точек в RP^2V; где путлер бывает редко, потому что заграница имеет лоренцову метрику и там время идет вперед, хотя просторов нема --- всего две пространственные координаты). Между такими геодезическими имеется двойственность, данная ортогональным разложением p+p'=V. Но есть еще и вырожденные геодезические p сигнатуры 0-. Их легко "увидеть" --- это проективные прямые в RP^2V, которые касаются абсолюта. И все вместе вырожденные точки грассманиана образуют, как мы видим, проективизацию P касательного расслоения к абсолюту (т.е., к 2-сфере).

Итак, четырехмерный грассманиан Gr(2,V) разбивается своим (трехмерным) абсолютом P на два, по сути одинаковые, куска, в каждом из которых имеется псевдориманова метрика (сохраняемая двойственностью). Как вы думаете, какая у этой метрики сигнатура? Правильно, ++--.

Вот мы и получили нашего BS!
И теперь мы понимаем как (хорошо) можно жить в BS. Каждую геодезическую можно вращать вокруг какой-нибудь ее точки (канонического выбора нет) --- две степени свободы, А можно и двигать, не вращая, оставляя ее перпендикулярной какой-нибудь геодезической плоскости (канонического выбора нет) --- еще две степени свободы. Какие две пространственные, а какие временные --- монохуйственно.

На абсолюте baby sitter'а тоже имеется некоторая, довольно тонкая, геометрия, но поскольку все это уже сильно напоминает детскую порнографию, давайте отложим обсуждение этого вопроса до достижения возраста согласия. Согласны?

Новые Бурбаки Васюки