Неизменно промахиваясь - Концептуальное математическое искусство.

From: svintusoid@lj Date: October 16th, 2005 - 07:07 am Продолжаем фантазировать(я, правда, не специалист в ло (Link)

О смысле "максимального ослабления":
Возьмем множество утверждений истинных в NGB+A и будем рассматривать его подмножества содержащие A и B такие, что существует некоторая конечная система аксиом порождающая данное подмножество не содержащая B. Будем рассматривать такие системы аксиом минимальной длины и выберем такую, что длина минимального вывода B в ней будет максимальна. Будем тогда называть эту длину расстоянием от утверждения A до утверждения B.
Поскольку нас интересует эквивалентность разумно выбрать максимум из 2 возникающих расстояний.
Получающееся отношение симметрично, расстояние от утверждения до него самого можно положить равным нулю, неравенство треугольника, кажется тоже имеется( типа доказываем из A B, а потом C, правда тут есть очевидный пробел, так что неясно, конечно).
Ура! :-) Получили метрику на множестве верных в NGB(ну или вообще в некоторой конечной системе аксиом) утверждений. :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

From: ignat@lj Date: October 16th, 2005 - 07:22 am Re: Продолжаем фантазировать(я, правда, не специалист в (Link)

Возьмем множество утверждений истинных в NGB+A и будем рассматривать его подмножества содержащие A и B такие, что существует некоторая конечная система аксиом порождающая данное подмножество не содержащая B.

Конечных может и не быть. Насколько я понимаю, аксиома индукции сама по себе представляет собой бесконечное число аксиом. Хотя, возможно, я и не прав.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

From: svintusoid@lj Date: October 16th, 2005 - 07:27 am Re: Продолжаем фантазировать(я, правда, не специалист в (Link)

Ну мы ограничиваемся только конечными. Это условие на подмножество. NGB, вроде бы, сама по себе конечна. Я так помню. И Вики, вроде, подтверждает. :))

(Reply to this) (Parent) (Thread)

From: svintusoid@lj Date: October 16th, 2005 - 07:34 am Re: Продолжаем фантазировать(я, правда, не специалист в (Link)

Да, именно так, собственно затем ее и построили.

(Reply to this) (Parent)

From: falcao@lj Date: October 22nd, 2005 - 09:35 pm Re: Продолжаем фантазировать(я, правда, не специалист в (Link)

При построении NGB ухитрились построить конечную аксиоматику для теории множеств, где само число аксиом конечно (в отличие от ZF, где конечно лишь число схем аксиом).

В рамках NGB легко определяются натуральные числа (по фон Нейману), а принцип индукции для них следует как теорема (для любого предиката).

(Reply to this) (Parent)