tiphareth: сообщение для связи

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

dmitri83
2011-10-10 17:53 (ссылка)

Миша, вы не могли бы помочь со следующим вопросом?

Пусть p: X \to Y морфизм алгебраических многообразий над C. Хочется иметь такое свойство: для любого y \in Y и любого x, p(x)=y, существует локальное в смысле комплексной топологии сечение p, проходящее через y. Например, когда X и Y гладкие и p субмерсия, оно выполняется. А что будет, если допустить X и Y негладкие?

Вопрос: верно ли это для какого-нибудь широкого класса морфизмов p? Можно ли утверждать, что если взять произвольные p, X, Y, то локальное сечение через заданную точку существует, если брать y из какого-то плотного по Зарискому подмножества Y?

Аналогичный вопрос в случае, когда X и Y комплексные аналитические пространства.

Спасибо.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

sasha_a
2011-10-10 20:08 (ссылка)

Наверное следует поправить:
проходящее через y -> проходящее через x

Для существования сечения в окрестности (по Зарискому или нет --- неважно) точки y необходима доминантность p в точке y (замыкание по Зарискому образа p содержит окрестность точки y). В гладких y с этим условием (которые образуют плотное по Зарискому подмножество в Y, если морфизм доминантен) задача легко сводится к расширению гладкой аффинной области B с помощью одного целого над ней элемента a. Остаётся "увидеть", что уравнение целой зависимости a над B допускает "аналитическое" решение (в рядах соответствующих пополнению, связанному с точкой y). Возможны проблемы, но этот подход кажется разумным.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri83
2011-10-10 21:44 (ссылка)

да, через x, опечатался
и вообще забыл сказать, что p даже не доминантный, а сюрьективный

извините, что вы имеете в виду, когда говорите «в гладких y»? точки, в которых слой гладкий, точки, в окресности которых p — гладкий морфизм?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

sasha_a
2011-10-10 22:55 (ссылка)

В гладких точках y многообразия Y, безотносительно морфизму.
Почему-то вспоминается лемма Гензеля (Hensel) в связи с упомянутым решением в рядах, но беглый взгляд в Wikipedia особой ясности не принес. (Миша ниже вроде все правильно сказал, хоть и забыл (как всегда) про сюрьективность.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri83
2011-10-10 23:59 (ссылка)

по-моему, требовать гладкости Y тут не надо.

полные локальные кольца гензелевы даже когда нерегулярны.

тут ситуация более общая, чем в лемме Гензеля. лемма Гензеля говорит, что если есть конечная этальная алгебра B (схема) над хорошим (гензелевым) локальным кольцом A, то через любую точку в слое над замкнутой точкой этого локального кольца можно провести сечение Spec A \to Spec B. у меня слой не конечен, а произволен.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	sasha_a 2011-10-11 00:53 (ссылка)
	Какая-то гладкость всё-таки необходима: рассмотрите пример морфизма $t\mapsto(t^2,t^3)$ из аффинной прямой на плоскую кривую. В точке каспа сечения нет. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dmitri83 2011-10-11 01:34 (ссылка)
	потому что он неплоский там. нужна гладкость морфизма, а не образа (Ответить) (Уровень выше)

sasha_a
2011-10-11 22:14 (ссылка)

Над окрестностью гладкой точки (ограничивая морфизм на подходящую компоненту прообраза окрестности) морфизм разлагается на конечный и проекцию на "другой" сомножитель, где первый сомножитель --- аффинное пространство (теорема о нормализации). Поэтому всё сводится к конечным морфизмам и, по сути, к лемме Гензеля, как Вы объяснили.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dmitri83 2011-10-12 02:37 (ссылка)
	извините, а откуда эта теорема? выглядит как относительный вариант леммы Нётер о нормализации. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

sasha_a
2011-10-12 10:12 (ссылка)

Я не прав (нет такой теоремы: рассмотрите аффинные области A\supset B с гладкой B и одинаковыми полями частных). Но, переходя к открытому плотному в Y (и теряя точку y), легко добиться упомянутого разложения морфизма.

Моя мышиная возня связана с желанием избежать использования (тяжелой) теоремы Хиронаки о разрешении особенностей (как ниже у Миши: после того, как X и Y --- гладкие аффинные, остается лишь перейти к плотному открытому в Y, где якобиан имеет макмсимальный ранг).

(Ответить) (Уровень выше)

dmitri83
2011-10-12 03:11 (ссылка)

кстати, если ещё предположить дополнительно, что X гладкое и
рассмотреть ограничение p на подмножество, где конечный морфизм в
факторизации неразветвлён, то у ограничения этот конечный морфизм
получится этальным (ветвление мы устранили, а морфзим между двумя
гладкими многообразиями всегда плоский). тогда как раз получается одно
из эквивалентных определений гладкого морфизма: композиция этального и
проекции на "другой" сомножитель.

(Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2011-10-10 20:49 (ссылка)

>если взять произвольные p, X, Y, то локальное сечение
>через заданную точку существует, если брать y из какого-то
>плотного по Зарискому подмножества Y?

Это правда вроде бы.
Сначала можно заменить X на гладкое, воспользовавшись разрешением особенностей.
Тогда по теореме Сарда, в открытом по Зарискому подмножестве Y, p есть гладкая субмерсия.
А там можно брать сечение (хоть в этальной топологии, хоть в аналитической).

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dmitri83 2011-10-11 00:07 (ссылка)
	эта "теорема Сарда" наверное называется generic smoothness? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dmitri83 2011-10-11 00:14 (ссылка)
	а так да, вроде эти соображения работают. спасибо! (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -