Есть определение ПДО без координат: это оператор, у которого ядро Шварца конормально к диагонали. Конормальность это некоторое асимптотическое условие, см. http://mathoverflow.net/questions/75976/symbol-of-pseudodiff-operator

Там написано, что это Мельроуз придумал определение. Не знаю, что с ним можно сделать, потому что я смотрел в несколько трудов Мельроуза и он там часто определяет конормальность через преобразование Фурье, как в обычном случае.