tiphareth: очередные лекции и листочки (лекция 4)

(Добавить комментарий)

	anon_vatnik 2013-10-08 00:15 (ссылка)
	А дифференциальная геометрия помогает, например, анализировать топологию решения дифура, не решая его? (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-10-08 00:21 (ссылка)
	нет людям, которым интересно анализировать топологию решения дифура ничего помочь не может (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	anonymous_ljr 2013-10-08 01:27 (ссылка)
	Неужели свойства пространств решений нелинейных дифуров настолько скучные? А я слыхал, из них всякие забавные инварианты строили. (Ответить) (Уровень выше)

	anon_vatnik 2013-10-08 23:14 (ссылка)
	И что и книжек никто не писал даже? (Ответить) (Уровень выше)

	paperdaemon 2013-10-08 10:47 (ссылка)
	решения гафурова (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	anonymous_ljr 2013-10-08 12:16 (ссылка)
	>гафурова И сразу нахуй! (Ответить) (Уровень выше)

openair
2013-10-08 01:51 (ссылка)

а есть намеки на похожее алгебраическое изложение и для псевдо-дифференциальных операторов как в листке?

То есть можно ли например теорию эллиптических операторов элегантно изложить алгебраически с минимальным привлечением анализа. Или есть какой-то момент, который показывает что принципиально нельзя. Я видел разные лекции где сначала все довольно алгебраично в разной степени, но потом неизбежно все сводится к Фурье и жутко громоздкому анализу остатков рядов Тейлора, когда доказывается существование параметрикса. Интересно этого принципиально нельзя избежать или пока просто не научились.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2013-10-08 05:59 (ссылка)

нету, видимо
даже внятного (без координат и меньше, чем на 20 страниц)
определения псевдодифференциальных операторов нет

но для эллиптических операторов севдодифференциальные и не нужны

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	openair 2013-10-08 06:30 (ссылка)
	ну формально не нужны, а реально ничего же не сделаешь без параметрикса. В итоге под внешне "правильный" обьект по факту требуется громоздкий матан. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-10-08 08:35 (ссылка)
	не, можно сделать у меня тут вкратце написано [ 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 ] (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

anonymous_ljr
2013-10-08 08:52 (ссылка)

Спасибо, но это, во-первых, очень сильно вкратце, во-вторых, все-равно не очень понятно (по крайней мере, на первый взгляд), как поступать с конкретными операторами (или чем их заменить?). Например, как писать параметрикс для лапласиана на сфере? Сам всего этого не люблю, но вот поди ж ты, потребовалось.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-10-08 09:31 (ссылка)
	зачем писать параметрикс? на сфере у него есть явно заданные собственные функции (полиномами) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	anonymous_ljr 2013-10-08 10:30 (ссылка)
	Ну, хотелось бы получить что-то, независимое от координат, чтоб работало в дискретном случае, например (когда сфера разбита на симплексы). (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-10-08 11:10 (ссылка)
	в дискретном случае вообще теория PDE сейчас практически не работает даже для лапласа (если граф не регулярный) для регулярных графов, задача чисто комбинаторная и не особо неинтересная (Ответить) (Уровень выше)

openair
2013-10-08 09:47 (ссылка)

Да, посмотрел, весьма познавательно, не видел такого.
Но в целом только для Лапласа ( если ничего не пропустил) и как-то слишком хитрожопо. То есть внешне выглядит не логичной наукой, а искусным трюкачеством с целью избежать жесткого матана. То есть псевдо-дифф. операторы технически муторны сами по себе, но зато сразу же понятно зачем и как.
Плюс непонятно как такими маневрами гладкость собственных векторов получить к примеру - было бы очень любопытно посмотреть, ну допустим просто для Лапласа на формах.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2013-10-08 10:25 (ссылка)

остальное из лапласа легко выводится
(точнее, из Дирака)
то есть любой эллиптический оператор
в композиции с Дираком в отрицательной степени
дает фредгольмово отображение гильбертова пространства

>Плюс непонятно как такими маневрами гладкость
>собственных векторов получить к примеру

эллиптическая регулярность же
для нее никакие ПДО не нужны, это локальное свойство вообще
нужно неравенство Харнака

у меня в листках она тоже есть, из леммы Соболева то ли Реллиха выводится

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

openair
2013-10-08 11:14 (ссылка)

А, ну понятно, просто через пдо вообще все эти вещи мгновенно и крайне натурально( по модулю технических сложностей при выводе свойств пдо).

Я наверно вопрос не совсем точно сформулировал, попробую по другому: суть не совсем в том, можно ли чисто формально получить все нужные свойства эллиптических операторов без упоминания пдо ( хотя для меня очень познавательно, что можно, я думал нельзя).

Суть в том, что сам по себе это объект, кажущийся довольно таки естественно возникающим. Ну хотя бы по той причине что при использовании пдо не требуется формул Вейтценбока и выражения любого эллиптического через Лаплас. Я сейчас не касаюсь аспекта насколько одно легче другого, а просто хочу сказать что в каком то смысле с пдо все происходит напрямую- а это признак некой естественности.

Плюс, если не фокусироваться намертво на идее обойтись только самим оператором P, сама по себе очень привлекательная идея что есть конкретные операторы на сечениях расслоения Q и S( сглаживающий), которые сами по себе живут на сечениях, и хорошо продолжаются на пр-ва Соболева. И в каком то смысле они не абы какие ( если формально их определять через оператор P и фредгольмовость), а таки приятные и довольно понятные.

Вот пока писал еще пришла мысль: пдо Q (параметрикс) можно естественным образом продолжить с сечений на все распределения, причем именно из-за того, что он пдо а значит есть формальный сопряженный( тоже пдо). А если работать только в терминах изначального оператора P, фиксировать какое то соболевское пространство, потом брать формальный псевдообратный и про него доказывать... мне кажется геморрой и неестественно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

anonymous_ljr
2013-10-08 11:35 (ссылка)

ппкс!
Вообще К-теория с нижним индексом (К-гомологии то есть) без пдо выглядит совсем уж абстрактно (КК конструкция каспарова, гильбертовы модули и прочие страшные слова), особенно по сравнению с обычной К-теорией. Поэтому, по-видимому, она до сих пор практически не алгебраизована.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2013-10-08 14:09 (ссылка)

ну алгебраическая КК-теория и категория К-мотивов для схем построена, см. на архиве Гаркушу и Панина. Про приложения ничего не знаю, кроме того, что можно, наверное, что-то новое (не знаю, что) сказать про мотивную спектралку Атьи-Хирцебруха. (Они в одной статье частично решают гипотезу Суслина о разных её определениях, я не знаю, насколько с помощью КК-теории, не читал ни одну из статей.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

anonymous_ljr
2013-10-08 15:15 (ссылка)

У семня есть большие сомнения относительно Гаркуши. Мне кажется, это о чем-то не о том. Во всяком случае, совсем не очевидно, есть ли там аналог теоремы об индексе (и вообще, какое отношение это имеет к дифф. операторам).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2013-10-08 20:49 (ссылка)

Ну это самый прямой алгебраический аналог каспаровской категории КК. Чтобы понять, какое отношение оно имеет к дифференциальным операторам, надо знать, какое отношение алгебраические К-гомологии имеют к дифференциальным операторам, а я не знаю, известно ли это (и осмысленно ли такой вопрос задавать) вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	anonymous_ljr 2013-10-08 22:56 (ссылка)
	Я ровно про это и говорю. Просто, на мой взгляд, теорема об индексе -- raison d'etre всей науки про К-гомологии, и алгебраизовать ее -- крайне интересно. (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2013-10-08 11:36 (ссылка)

сначала надо придумать нормальное, аксиоматическое определение ПДО
потому что сейчас его нет (убожество с преобразованием Фурье и в картах
не рассматриваю даже, потому что это явная конструкция, и занимает
30 страниц).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2013-10-08 13:55 (ссылка)

Есть определение ПДО без координат: это оператор, у которого ядро Шварца конормально к диагонали. Конормальность это некоторое асимптотическое условие, см. http://mathoverflow.net/questions/75976/symbol-of-pseudodiff-operator

Там написано, что это Мельроуз придумал определение. Не знаю, что с ним можно сделать, потому что я смотрел в несколько трудов Мельроуза и он там часто определяет конормальность через преобразование Фурье, как в обычном случае.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2013-10-08 15:56 (ссылка)

Бернштейн в Вышке читал лекцию, где у него была попытка дать человеческое
определение в том же стиле, что у Гротендика с дифф. операторами,
но не получилось (точнее, получилось не совсем)
http://bogomolov-lab.ru/AG2012/abstracts.htm
http://www.youtube.com/watch?v=lJSG92xqiqs

из того определения, которое у Мельроуза, непонятно, например, почему композиция ПДО
это снова ПДО, то есть доказывают, переходя к явной конструкции

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	grigori 2013-10-08 20:53 (ссылка)
	Я видео не смотрел, но мне казалось, что в вышке он про определение Мельроуза рассказывал. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-10-08 21:30 (ссылка)
	оно он как раз указал, что его определение не работает в какой-либо осмысленной общности (Ответить) (Уровень выше)

kaledin
2013-10-08 16:21 (ссылка)

>сначала надо придумать нормальное, аксиоматическое определение ПДО

Я думаю, его нет и быть не может, и по довольно очевидным причинам (гладких функций сильно больше, чем полиномиальных, надо вводить ограничения на допустимые символы, неизбежно искусственные).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-10-08 16:40 (ссылка)
	для дифф. операторов оно все же есть (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2013-10-08 17:15 (ссылка)
	Потому что полиномиальных функций горазо меньше, чем гладких, и вводить искусственные ограничения на символ не нужно. (Ответить) (Уровень выше)

	paperdaemon 2013-10-08 10:46 (ссылка)
	(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	zo6 2013-10-12 23:21 (ссылка)
	эй, мэн (Ответить) (Уровень выше)