tiphareth: верхний пост

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

ende_neu
2014-03-16 02:56 (ссылка)

Миша, а вот у вас в книжке по топологии написано
"В 1930-м году польский математик Альфред Тарский раз-
вил систему аксиом для элементарной геометрии, более формальную и
строгую, чем у Гильберта, и доказал, что эта система аксиом полна и
непротиворечива."
Скажите, пожалуйста, верно ли я понимаю?
1. У Гильберта аксиоматизирована вся геометрия плоскости,
а у Тарского --- не вся, а только часть, названная им элементарной.
2. В какой-то книжке (может, у Ефимова в "Высшей геометрии"?) я читал,
что аксиоматика Гильберта еще и потому такая сложная и непривлекательная,
что содержит и аксиоматику вещественных чисел. Если бы можно было всю евклидову геометрию
аксиоматизировать в логике первого порядка, то, так как там сидят и числа,
сразу по теореме Гёделя ясно, что на полноту расчитывать нельзя?
Или это некорректный вывод?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2014-03-16 10:37 (ссылка)
	1 - не так, у них более-мене одинаковые геометрии 2 - тоже не так, там нет вещественных чисел (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2014-03-16 17:38 (ссылка)

2) у гильберта (о которых я подумал) действительные числа есть почти прямо
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms#V._Continuity

это все, что касается непрерывности. на самом деле многие теоремы из
евклида без полноты нельзя доказать
(вообще ничего нельзя почти доказать - восстановить перпендикуляр в точке на самом деле даже нельзя
, циркулем отложить расстояние нельзя)

1) если не ограничиваться аксиомами первого порядка, то в любой разумной
аксиоматизации геометрии евклида можно реализовать натуральные числа,
поэтому полноту ее доказать нельзя.

---
тарский на самом деле доказал полноту и противоречивость элементарной (первого порядка)
версии геометрии евклида. если бы его алгоритм работал для всей геометрии евклида,
то многие нерешенные проблемы были бы решены (по модулю очень большого вычисления) (например о существовании замкнутой траектории в биллиарде на тупоугольном треугольнике)

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -