Как Гротендик может помочь в упрощении доказательств каких-нибудь геометрических неравенств-оценок?
Доказательство упрощается когда есть понимание того, что происходит.
(Подробности в: А. Гротендик, "Урожаи и посевы".)
Кроме того, оценки важны не сами по себе, а лишь когда они имеют явный геометрический смысл.

он [Громов] как-то вдохновлялся конкретными идеями Гротендика?
Да.

остаётся несократимый аналитический аппарат, который красотой и ясностью может и не блистать
Даже знаменитое доказательсво Яу стало нынче "сократимым" ввиду лучшего понимания.

Ну а как Каповичу функторы помогают в исследовании клейновых групп там и т.п.?
Если посмотреть его последние работы, это станет очевидно.

эти запилы казались весьма искусственными
Вы в хорошей компании с Мишей Каповичем дцатьлетней давности.