tiphareth: Для связи (апрель 2022)

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

deevrod
2022-04-25 16:42 (ссылка)

привет

я думал про флопы Мукаи, и надумал следующее

что вообще такое флоп Мукаи? это в сущности двойное расслоение на многообразии инцидентности P(V) \leftarrow Inc \rightarrow P(V^*). обе стрелки выглядят как проективизация кокасательного расслоения соответствующего проективного пространства; так что если скажем где-то есть лагранжев P^n, можно сначала его раздуть, а потом сдуть другой проекцией. получится двойственный лагранжев P^n, сидящий в другом многообразии

а есть еще известное двойное расслоение, S^3 \leftarrow UT(S^3) \rightarrow CP^1 \x CP^1

здесь S^3 это сфера с круглой метрикой, UT расслоение единичных касательных векторов, а вторая проекция это фактор по геодезическому потоку

выглядит как флоп Мукаи, переводящий ассоциативное подмногообразие в коассоциативное

но если это попытаться сделать буквально так, даже в однородном случае, получается полный бред

однако кажется можно сказать так. давай возьмем спинорное расслоение E \to S^3, и заменим его на расслоение изотропных квадрик Q(E) \subset P(E \o \C) (изотропная квадрика хорошо определена, потому что на спинорах есть скалярное умножение). теперь оттянем его на расслоение UT(S^3) \to S^3. единичный вектор в каждой точке определяет поворот спинорного пространства на 90 градусов, а его собственное подпространства в Q(E_x) -- это образующая квадрики. таким образом, в расслоении квадрик возникает подмногообразие, являющееся P^1-расслоением.

я утверждаю, что оно спускается вдоль геодезического потока UT(S^3) \to CP^1 \x CP^1, и как расслоение на P^1-ы оно является расслоением изотропных квадрик в P(\Lambda^2_{+}T^*). доказывать я это не буду; может это и неверно. я много бреда написал и чуть голову не сломал, пока пытался это осознать

в итоге получается нечто, что не является буквально флопом Мукаи между двумя G_2-многообразиями, но мне кажется для расщепленной формы G_2 (и соответственно псевдориманова аналога примеров Брайанта-Саламона) должен получиться честный 'бирациональный изоморфизм' между ними

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

deevrod
2022-04-25 16:48 (ссылка)

проблема в том, что из P^1 x P^1 нельзя G_2-многообразие сделать, а только из S^4 или CP^2. у меня было какое-то соображение, как через юдоль мнимую связывать S^4 и P^1 x P^1 -- в духе того, что твисторы S^4 это CP^3, а лебрюновские твисторы S^3 это вещественная квадрика в нем; но я всё забыл

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -