ЗАПРОС
Представь себе куб 1 кг. Какую массу будет иметь аналогичный 4-мерный и 5-мерный куб?

ОТВЕТ
Куб в 3-х мерном пространстве с массой 1 кг имеет сторону длиной примерно 21.2 см (так как объем куба равен a^3, где a - длина стороны куба, а масса пропорциональна объему).

Чтобы рассчитать массу 4-мерного куба, мы можем использовать формулу для объема гиперкуба в 4-х мерном пространстве: V = a^4. Решив эту формулу относительно a, мы получаем a = V^(1/4) = (1 кг)^(1/4) = 0.75 см. Следовательно, объем 4-мерного куба составляет (0.75 см)^4 = 0.316 см^4. Поскольку масса пропорциональна объему, масса 4-мерного куба будет равна (0.316 см^4) * (1 кг / 21.2 см^3) = 0.015 кг (около 15 г).

Аналогично, для 5-мерного куба мы можем использовать формулу для объема гиперкуба в 5-ти мерном пространстве: V = a^5. Решив эту формулу относительно a, мы получаем a = V^(1/5) = (1 кг)^(1/5) = 0.58 см. Следовательно, объем 5-мерного куба составляет (0.58 см)^5 = 0.107 см^5. Поскольку масса пропорциональна объему, масса 5-мерного куба будет равна (0.107 см^5) * (1 кг / 21.2 см^3) = 0.005 кг (около 5 г).

ЗАПРОС
Почему 4-мерный куб такой легкий получился?

ОТВЕТ
4-мерный куб, который мы рассматриваем, на самом деле не является кубом в привычном для нас понимании. Он представляет собой объект в четырехмерном пространстве, который мы можем представить как некоторую "фигуру", у которой есть 4 измерения.

В 4-мерном пространстве гиперкуб (аналог трехмерного куба) имеет больший объем, чем куб в 3-х мерном пространстве, но при этом его стороны значительно короче. Это происходит потому, что в 4-мерном пространстве расстояние между двумя точками может быть большим, но при этом проекция этого расстояния на каждое из трех измерений, в которых мы можем представить 4-мерный объект, будет короткой.

Таким образом, хотя объем гиперкуба в 4-мерном пространстве больше, чем объем куба в 3-х мерном пространстве, его стороны значительно короче. Это приводит к тому, что масса 4-мерного куба меньше, чем масса куба в 3-х мерном пространстве с одинаковой стороной.

Аналогично, гиперкуб в 5-мерном пространстве имеет еще больший объем, но при этом еще более короткие стороны, что приводит к еще более низкой массе по сравнению с кубом в 3-х мерном пространстве.

Топология, которую мы заслужили