Если оговорка, то странно, что он после неё сразу начал давать определение связности. Да и вообще, многовато оговорок в определениях. Ещё рекомендовал читать старые курсы анализа, причём конкретно Гурса, перегруженного всяким хламом, который студенту просто времени не хватит освоить (из древних курсов не перегружен, насколько мне известно, только Курант).

Сейчас нашёл этот момент в лекции, он несколько раз повторил определение окрестности и даже записал на доске "открытое связное множество=окрестность=область".