Музыка:

Kstati da - SVAROG

инварианты Диксона
Рассказывал на семинаре Кропхоллер
об инвариантах классических групп над полем характеристики 2.
Задача, конечно, нерешенная (и не очень решаемая), но
необходимая для алгебраической топологии.

Рассказал, что у GL(n) над Z/2Z есть много полиномиальных
инвариантов, они все классифицированы Диксоном в 1911
и называются инварианты Диксона. Другие инварианты,
рассказал, строятся ныне через операции Стинрода.

Вот как получаются инвариант Диксона, очень интересное

Пусть V пространство над Z/2Z с базисом x_1, x_2,
... x_n.
Напишем такой определитель (n+1)x(n+1), похожий на определитель
Вандермонда:

t    x_1    .
t^2  x_1^2  .
t^4  x_1^4
t^8  x_1^8 
...

(в первом столбце t в степенях 1, 2, 4, 8, 16,...
дальше x_1 в степенях 1, 2, 4, 8, 16, ..., x_2
и так далее). Это полином D(t) с коэффициентами,
которые многочлены от x_1, x_2, ... x_n.

Заметим, что D(t) зануляется при
t=x_1, t=x_2, ...(это верно в любой
характеристике). С другой стороны, возведение в квадрат
в характеристике 2 аддитивно, значит D(t) зануляется
при t, равном любой линейной комбинации x_1, x_2, ....
Мы получаем, что у D есть 2^n корней. Больше, чем
2^n корней, у него не может быть, у него степень
2^n. Значит, D(t) равен произведению (t-x),
где x пробегает все вектора в V, умножить
на какой-то полиномиальный по x_1, x_2, ... x_n
коэффициент. Вот этот коэффициент и есть
инвариант Диксона.

Привет
Миша