tiphareth: Взял интеграл? Положи его на место!

Настроение:	tired
Музыка:	Podorozhnyj - KARA

Взял интеграл? Положи его на место!

К этому

Вот, если кому-то нужно, обзор решений
задачи об интегрировании элементарных
функций.

Функция элементарна, если
она выражается через последовательные
композиции алгебраических функций, экспонент
и логарифмов (большинство стандартных функций
элементарные - тригонометрические, обратные
тригонометрические и т.д.)

Задача состоит в следующем: для данной элементарной
функции выразить ее интеграл в элементарных
функциях, либо убедиться, что это невозможно.
Ее решил Роберт Риш в 1968, решение является
простым алгоритмом, и встроено в большинство
программных пакетов для символьных вычислений.

Чуть ли не половина программы анализа на первом
курсе занята решением задач, которые тривиально
алгоритмически разрешимы и никому нахер не нужны
(мне трудно себе представить, кому вообще может
понадобиться производить символическое интегрирование
на бумаге; кому надо, у того есть компутер, а 99%
математиков и всем нематематикам это в жизни
не понадобится никогда). Все-таки университетская
программа в РФ идиотская до предела, факт.
Причем в основном из-за преподавателей - ну
не знает профессор ничего, кроме как брать
интегралы, чему он людей научит?

Стрелять надо таких профессоров, по-моему.

Самое забавное, что граждане
и не подозревают, что задача давно решена -
опросите вот знакомых преподавателей
анализа, у кого есть; большинство считает,
что это Трудно и Важно.

Тут они не одиноки, впрочем - Харди (1916)
высказывался в том духе, что алгоритма скорее
всего и нет.

Вот эта мразь и сидит до сих пор в 1916 году.
До исторического, блядь, материализма.
Давить. Давить, как тараканов

Привет

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

gaz_v_pol
2008-03-23 20:18 (ссылка)

Забавно, но алгоритм Риша так и не реализован полностью ни в Maple, ни в Mathematica (думаю, вообще ни в одной программе не реализован). Ни та, ни другая программа не может взять интеграл от x / sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71).

К слову, в алгоритме Риша есть еще одна проблема. Нужно уметь проверять, верно ли, что данная элементарная функция тождественно равна нулю. Если разрешить функцию "модуль", то такого алгоритма не существует (ссылка). Если модуль не разрешать, то наука ответа не знает.

К слову, поместить комментарий с опцией "как пользователь livejournal" (до регистрации до LJR) не получается - preview показывает, но при попытке сохранить timeout, пробовал из-под Opera и MSIE.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2008-03-24 00:34 (ссылка)
	да, я тоже заметил глючит сервер LJ, судя по всему сейчас проверю от себя Насчет Риша - да, конечно, согласен целиком (Ответить) (Уровень выше)

	repressii.livejournal.com 2008-03-24 00:34 (ссылка)
	проверка OpenID (Ответить) (Уровень выше)

	repressii.livejournal.com 2008-03-24 00:35 (ссылка)
	вроде работает (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	gaz-v-pol.livejournal.com 2008-03-24 00:50 (ссылка)
	Да, у меня тоже заработало, видимо, были какие-то временные трудности, спасибо. (Ответить) (Уровень выше)

Умеет, однако

tristes_tigres
2008-07-03 04:11 (ссылка)

Ни та, ни другая программа не может взять интеграл от x / sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71).

>> maple integrate(x / sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71),x)

ans =

2*(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4))*((RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)))^(1/2)*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2))^2*(-(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3))/(-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3)+RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)))^(1/2)*((RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)))^(1/2)/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/((x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)))^(1/2)*(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)*EllipticF(((RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)))^(1/2),((RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3))*(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4))/(-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3)+RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)))^(1/2))+(-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)+RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))*EllipticPi(((RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2))*(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(x-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)))^(1/2),(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)),((RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3))*(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4))/(-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 3)+RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 1))/(RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 2)-RootOf(_Z^4+10*_Z^2-96*_Z-71,index = 4)))^(1/2)))

>> maple kernelopts(version)

ans =

`Maple 10.06, IBM INTEL NT, Nov 10 2006 Build ID 99999`

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Нет, не умеет.

gaz-v-pol.livejournal.com
2008-07-03 11:39 (ссылка)

Добрый день!

Обратите внимание - в ответе фигурируют функции EllipticPi и EllipticF. Это - неэлементарные функции, через которые можно выразить любой интеграл вида x/sqrt(a*x^4+b*x^3+c*x^2+d). Конкретный случай интеграла от x/sqrt(x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71) существенно отличается от общего - именно этот интеграл можно выразить с использованием только элементарных функций. А если поменять, скажем, 71 на 72 - нельзя будет выразить через элементарные (только через EllipticPi и EllipticF). Причина этого в том, что группа Галуа многочлена x^4 + 10*x^2 - 96*x - 71 суть D(4), т.е. генерируется подстановками (1 2 3 4) и (1 3) и состоит из 8 элементов. А если поменять 71 на 72, группа Галуа будет общая, S(4), т.е. генерируется подстановками (1 2), (1 3) и (1 4) и состоит из 24 элементов. Для вопроса интегрирования в элементарных функциях разница принципиальная. Алгоритм Риша ее чувствует. Maple (и любая другая программа, кроме Axiom) - нет. Но и в Axiom алгоритм Риша реализован не полностью. Пример функции, которую ни одна программа (включая и Axiom) не может проинтегрировать, я написал в Википедию (ссылка (http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm)).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	Re: Нет, не умеет. tristes_tigres 2008-07-03 22:53 (ссылка)
	Спасибо за интересный ответ. Получается, что некоммерческая Axiom - более передовая в математическом отношении ? (Ответить) (Уровень выше)

	Re: Нет, не умеет. (Анонимно) 2009-11-06 02:44 (ссылка)
	У меня МатКад14 все чудесно проинтегрировал, юзайте МатКад (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -