>Может, писать везде единообразно "элемент"?
>Чтобы путаницы не возникало?

Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
которой надо учиться.

> Вообще я раньше сталкивалась с определением
>градуированной алгебры как функции из алгебры в Z. Там
>сразу понятно, что градуировка не обязательно все целые
>значения принимает. В вашем определении это не очевидно,
>так как про то, что некоторые алгебры в определении могут
>быть пустыми, не сказано. Поэтому сразу неочевидно, что,
>например, тензорная алгебра является частным случаем этого
>определения. Лучше, наверное, это особо отметить (или
>изменить определение).

Градуировка - конечно, не функция в Z (градуировку
имеют только элементы чистой градуировки, их суммы
уже не имеют). Можно определять градуировку
(и это часто делается) как
действие группы U(1) (весовые пространства веса i
задают разложение алгебры в прямую сумму).

>Лучше, наверное, это особо отметить

Ага! поправил.

>Еще интересно, рассматриваются ли градуированные
>алгебры с градуировкой не в Z, а
>в Z_p, Q или R?

В Z/2Z - постоянно. В Z_p, Q или R - достаточно редко,
зато биградуировка (градуировка, проиндексированная
группой Z\times Z) - постоянно рассмотривается,
это типа то место, с которого начинается
определение спектральной последовательности
(в одной из версий).

Такие дела
Миша

> Пусть лучше привыкают. В научном тексте терминология
> всегда неконсистентна, и понимать ее - одна из вещей,
> которой надо учиться.

Мне все же кажется, что в "основном учебнике" все должно быть написано по возможности четко и с единой терминологией (возможно, c упоминанием других встречающихся названий вводимых понятий). А с использованием различной терминологии они и так столкнутся (уже на первом курсе сталкиваются с терминологией, отличной от школьной). Но все-таки эта чехарда не в пределах одной книги должна быть. Вы же писали, что собираетесь в итоге составить учебник.
ИМХО :-)

> биградуировка (градуировка, проиндексированная группой Z\times Z)

Это же фактически получается просто две независимых градуировки, да?

Еще вот подумала, что можно дать задачу на то, когда алгебра Клиффорда является градуированной (получается, что только когда она Грассмана, а иначе градуировка только в Z_2, тут они сами до этой Z_2-градуировки и додуматься могут).