В общем, то, что я написала выше -- это, конечно, никакой не предел, т.е. поточечно вроде бы предел, но не по метрике Г-Х.

Я вообще не понимаю, оказывается: а какое расстояние в метрике Г-Х между деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1, конечно)? Ну или между какими-то другими, пусть высоты n и m, но чтобы формула работала при некуоторых больших n, m?

> Я вообще не понимаю, оказывается: а
> какое расстояние в метрике Г-Х между
> деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1,
> конечно)?

Их можно "почти изометрично"
нарисовать на плоскости Лобачевского,
для очень сильно искривленной плоскости
Лобачевского. Причем единичный круг
в плоскости Лобачевского будет довольно
хорошо приближать дерево, в том смысле,
что громовское расстояние между ними
будет довольно небольшое. Это связано
с тем, что треугольник на плоскости
Лобачевского отличается от треугольника на
дереве на число, которое оценивается сверху
через \delta = 1/кривизну - с точностью до
\delta, геодезический треугольник на плоскости
Лобачевского эквивалентен геодезическому
треугольнику на дереве.

То есть громовский предел деревьев есть
громовский предел единичных кругов в плоскости
Лобачевского, когда гауссова кривизна стремится
к -\infty. Что это за штука, мне весьма интересно.

Такие дела
Миша

Что-то я ничего не поняла здесь...
И что такое единичный круг на плоскости Лобачевского с очень большой кривизной -- тоже не поняла. Куда этот круг поместится-то?

Рассмотрим треугольник на плоскости Лобачевского.
Его площадь это его сумма углов. Если площадь
маленькая, стороны практически не отстоят
друг от друга (сторона идет вплотную
с одной стороной, а потом расходится
с ней, и идет вплотную с другой), и
треугольник напоминает нарисованный
на дереве.

Сумма углов равностороннего
треугольника со сторонами 1 это
инвариант плоскости Лобачевского,
который обратно пропорционален кривизне
ее (с минусом). Если мы устремляем кривизну
к бесконечности, этот треугольник
превращается в треугольник на дереве.

> Локально компактное пространство может
> и получиться.

Да, возможно. Хотя в природе обыкновенно
получаются компактные штуки.

>сформулированному Вами утверждению о
> том, что пространство всех
> (ограниченных и т.п.) пространств с
> метрикой Г-Х компактно.

Предкомпактно, строго говоря - то есть
каждое ограниченное замкнутое подмножество
компактно.

Насчет противоречия - надо подумать.

Такие дела
Миша

Предкомпактность тоже не получается: все эти G_n находятся в шаре радиуса 1 с центром в одноточечном пространстве. Берем замыкание, оно тоже будет в этом шаре, и... никакой предельной точки.