Настроение:	tired
Музыка:	Mekons - FEAR AND WHISKEY

рациональные гомотопии
Еду в Москву послезавтра.

Эти полгода провел я в изучении рациональных
гомотопий и теории минимальных моделей Сулливана.

Наука эта чрезвычайно важная, красивая,
и состоит из двух частей: во-первых,
строится функтор локализации, определенный
в гомотопической категории; этот функтор
ставит в соответствие клеточному пространству
X клеточное пространство X', у которого когомологии
и гомотопии такие же, как у X тензор либо $\Q$
либо $\Z_p$.

Строится этот функтор довольно просто
(про сие есть в книжке Сулливана "Геометрическая
топология"). После локализации алгебраическая
топология переводится на язык представлений
алгебры Стинрода (если локализуют над Z_p)
либо дифференциальных градуированных (ДГ-) алгебр
(если над \Q). Про алгебры Стинрода я
ничего особо внятного я не знаю, а локализация
над $\Q$ и рациональные гомотопии - это
одна из центральных тем математики
последних 20 лет.

Все дело в том, что практически любой вопрос теории
деформаций переводится на язык рациональных гомотопий.
Исторически, математика развивалась в обратном
направлении: Сулливан открыл минимальные
модели, а Сташефф и Гальперин обнаружили,
что рациональные гомотопии любой ДГ-алгебры
задаются деформациями минимальной модели от
алгебры с нулевым дифференциалом. Было это в
середине 1970-х - статья Гальперина-Сташеффа
опубликована в 1979, кажется, но препринт
существовал несколько лет до того.

У Гальперина-Сташеффа алгебраическая
структура фиксируется, и варьируется дифференциал;
неэквивалентные выборы дифференциала задают
разные гомотопические типы ДГ-алгебры с заданными
когомологиями. В такой ситуации, деформации задаются
решениями уравнения 1/2 [\theta, \theta] = d\theta.
Это уравнение (Master equation, или уравнение
Маурера-Картана) хорошо известно из теории
деформаций.

Спорадические применения рациональных гомотопий
к теории деформаций имели место вплоть до начала
1990-х (Голдман-Миллсон, Тодоров, у меня тоже
была про это статья). Ближе к середине 1990-х,
оказалось, что это же самое уравнение задает
в теории струн WDVV-потенциал, в связи с чем
наука о рациональных гомотопиях оказалась
в центре струнной математики. Максим
Концевич изложил на языке рациональных
гомотопий всю тогдашнюю науку о зеркальной
симметрии, сформулировав на математическом
языке (впервые) зеркальную гипотезу и решив
попутно массу чрезвычайно важных вопросов.

Мой интерес в этом такой - я хочу понять,
как устроены рациональные гомотопии для
G_2-многообразий, и где там зеркальная
симметрия. Когда я был студентом, существовал
ровно один текст по рациональным гомотопиям
(откуда все все и узнали) - манинский перевод
статьи Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана,
где доказывалось, что рациональные гомотопии
кэлерова многообразия задаются алгебраической
структурой на когомологиях. Все известные
мне применения рациональных гомотопий
к деформациям (Голдман-Миллсон, Тодоров,
моя собственная статья) применяют аргумент
Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана для других
ДГ-алгебр, выводя из этого, что пространство
решений уравнения Маурера-Картана задается
системой уравнений второй степени.

Во всех ситуациях, когда теория деформаций
интересно устроена (для плоских расслоений,
для многообразий Калаби-Яу и так далее),
на ДГ-алгебре, контролирующей деформации,
есть дополнительные алгебраические структуры,
которые позволяют легко и красиво описать
рациональные гомотопии.

Хочется таким же образом обойтись и с G_2-геометрией.
Наука эта фантастически красивая, и алгебраических структур
там колоссальное количество; труднее всего понять, какие
из них интересны для рациональных гомотопий и зеркальной
симметрии, а какие нет.

В общем, я взял в библиотеке и отксерил
огромное количество трудов по рациональным
гомотопиям, и думаю, а не следует ли мне прочесть
по ним курс.

Набор тем такой примерно
(вряд ли все это будет рассказано - определенно
обещать могу только 1-3).

1. Функторы локализации. Теорема Лабкина, этальный
гомотопический тип.

2. Операции Масси. Минимальные модели Сулливана.

3. Формальность для кэлеровых многообразий, теорема
Голдмана-Миллсона

4. Теорема Гальперина-Сташеффа о деформациях.
Матричные операции Масси.

5. Применения к зеркальной симметрии.

6. Теорема Миллера о формальности односвязных
5- и 6-многообразий

Поскольку я буду в Москве примерно месяц, курс
будет короткий: с середины декабря по середину января,
лекций четыре-пять. Требуется знание основ гомотопической
топологии (клеточные пространства, симплициальные категории,
нерв категории, когомологии Чеха, конструкция K(\pi, n))
в объеме примерно половины Фукса-Фоменко, и знание теории
категорий (пучки, расслоенные произведения-копроизведения,
прямые-обратные пределы, сопряженные функторы);
половины Гельфанда-Манина хватит, я думаю.

Время для таких курсов весьма
неудобное, и я буду его читать, только если на него
запишется разумное число слушателей. Записываться
можно по е-мэйлу, телефону или в комментариях.

Если много народу таки запишутся, я устрою
первое занятие например в пятницу, 17 декабря
(или в другое удобное время), и оповещу
почтенную публику о том дополнительно.

Привет