Слово: разгильдя́й.
Ближайшая этимология: Образовано аналогично разгуля́й «увеселительное место», растрепа́й «растрепа, оборванец», т. е. от повел. формы (Преобр. II, 175). Возм., связано с гиль «путаница», первонач., возм., «расшевели-ка»?
Комментарии Трубачева: [Иначе, от тат. собств. Уразгильды, Уразгильдей, а также Разгильдей, Разгильдяй, объясняет это слово Попов (Из истории лексики языков Вост. Европы, Л., 1957, стр. 35). — Т.]Фасмер, 3,433Разгильдяев
(в документах прошлого — Разгильдеев, Разгилдеев). Отчество, возможно, от прозвища (из нарицательного) со значениями «неряха, оборванец, лентяй, беспутный, бродяга». Этимологию слова легко предположить — исключенный из гильдии (подобно распопа — «бывший поп» — см. Распопин); гильдия — сословная организация купечества. Но в России термин «гильдия» введен только при Петре I, а примеры имен гораздо старше: Разгильдей в Коломне (1577), енисейский казак Разгильдеев (1677). Напрашивается сходство с тюркским мужским именем Оразгельды (Уразкельди и другие формы) из ораз (ураз) — «месяц мусульманского поста», кельди (гелды) — «пришел». Но какова связь русского прозвища с этим именем? В документе 1614 г. значится темниковский татарин Бегит Розгильдеев (Архив Морд. науч.-иссл. ин-та). Фамилия документирована в Забайкалье — станица Акшинская (1887), в Благовещенской волости Туринского уезда (1897), есть и в Москве.Никонов  В. А. Словарь русских фамилий. (http://slovari.yandex.ru/dict/nikonov/article/nik/nik-0586.htm)