Но это уже и не тавтология!

И здесь не тавтология. Это определяется просто. Возможно такое же объявление с другим районом (Центральная поликлиника Невского района, в Минске я районов не знаю)? Возможно. Значит, эти "центральные" - разные, как и Ленины у меня в примере.

Первое слово - нет, конечно. Это просто случайное совпадение. К "Центральной поликлинике Центрального района" у меня претензий не было бы. Но "Районная" поликлиника уже автоматически в этом районе центральная, ибо остальные, так сказать, микрорайонные.
Плюс - что такое "клиническая поликлиника"?

Но так не говорят. Скажем, слова "обычная районная школа" могут применяться к десяткам школ одного района.

Клиническая больница чем лучше, кроме отсутствия общего корня?

1. Но не "районная школа Невского района".
2. Этим и лучше.

Вовсе нет. В районе города несколько поликлиник, но только центральная районная - "умывальников начальник и мочалок командир", т.е. курирует работу всех остальных амбулаторно-поликлинических учреждений (поликлиник) не только по вопросам оказания медицинской помощи населению района города, но и по вопросам финансово-хозяйственной деятельности. Если память мне ни с кем не изменяет, и вопросы опеки и попечительства были переданы из администраций районов в ведение юридических служб ЦРП.
В клинических поликлиниках (больницах) располагаются базы кафедр медуниверситета.

Наверное, так и есть, но некое несоответствие налицо. "Районной" может быть все-таки только одна организация ("районный комитет", "районное управление", ну и "районная поликлиника"). Термин "центральная районная" явно неудачен, ибо все-таки отдает тавтологией.