Группа верхнетреугольных матриц
Если вдруг кто не знает, обратная матрица к верхнетреугольной матрице не обязана быть верхнетреугольной, если кольцо коэффициентов некоммутативно.

Пусть I --- бесконечное множество. Очевидно, что существует перестановка множества I \sqcup I, такая что соответствующая матрица x \in \GL_2(R), где R --- это кольцо эндоморфизмов \Z-модуля \Z^{\oplus I}, верхнетреугольна и не диагональна. Тогда матрица x^{-1} нижнетреугольна и не диагональна.

Узнал этот пример из статьи W. Houbowski "An inverse matrix of an upper triangular matrix can be lower triangular", Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications 22 (2) (2002), которая доступна по ссылке [1].

Насколько знаю, группу верхнетреугольных матриц для некоммутативного ассоциативного унитального кольца определяют как множество двусторонне обратимых верхнетреугольных матриц, у которых обратные матрицы тоже верхнетреугольны. Иначе говоря, группа верхнетреугольных матриц определяется как группа двусторонне обратимых элементов кольца верхнетреугольных матриц.

upd. 07.01.2025 02.28 MSK. Небольшие изменения.

[1]: https://www.dmgaa.uz.zgora.pl/publish/volume.php?volume=22_2