Как-то не задумывался до сих пор, а ведь бифунктор декартового произведения сопоставляет паре объектов $(A,B)$ не объект $A \times B$ и даже не диаграмму $A \rightarrow A \times B \leftarrow B$, а группоид всех таких универсальных диаграмм и морфизмов между ними, коммутирующих с проекциями.