крест и радуга

Квантовая теорема Бертини
В тот четверг

kaledin сделал мне внушение, мол я слишком нахально пользуюсь болезненным процветанием комплексного анализа, не исчерпав бесхитростных пуританских граблей и веялок абстрактной алгебры. Думать через пучки занятие вправду довольно лёгкое, подобное сельскому труду; но в то же время (и это роднит абстрактную алгебру с алгебраической топологией) такими важными и привычными мелочами городской жизни, как гладкость, приходится пожертвовать.

Пусть у нас опять C алгебраическая кривая, \alpha, \beta две голоморфные 1-формы на ней, и они задают отображение пучков T \to O + O с коядром E. Композиция стрелок T \to O + O \to K, где последняя стрелка задана как (\beta, -\alpha), равняется нулю, что устанавливает отображение E \to K, являющееся изоморфизмом в случае, когда формы \alpha и \beta не имеют общих нулей. Последовательность когомологий запишется как H^0(O+O) \to H^0(K) \to H^1(T) \to H^1(O+O) \to H^1(K); как мы обсуждали ниже, образ H^0(K)/H^0(O+O) = H^0(K)/<\alpha, \beta> будет касательным пространством к листу малого изопериодического слоения. В случае, когда C лежит на абелевой поверхности, а \alpha и \beta два голоморфных дифференциала на ней, этот связывающий гомоморфизм будет устроен следующим образом: рассмотрим голоморфную 1-форму как сечение голоморфного нормального расслоения при помощи формулы присоединения; тогда линейные комбинации форм \alpha и \beta будут ограничениями на кривую сдвигов на торе, и соответственно не будут менять комплексной структуры на кривой, а все остальные 1-формы будут задавать какую-то нетривиальную деформацию кривой.

Если же дивизор Y общих нулей форм \alpha и \beta непуст, то пучок E не является обратимым. На кривой, однако, всякий пучок может быть отфакторизован по подпучку-небоскрёбу так, чтобы получился локально свободный пучок; в данном случае это будет некоторое линейное расслоение L. В таком случае H^1(E) = H^1(L), и по формуле Серра мы можем вычислить H^1(L) = H^0(L^* \o K)^*. С другой стороны, мы знаем, что морально это пространство должно быть пространством, двойственным пространству квадратичных дифференциалов, делящихся и на \alpha и на \beta, то есть дивизор нулей которых более Z_1+Z_2-Y (где Z_1 и Z_2 это канонические дивизоры нулей \alpha и \beta). Итак, по-видимому, L^* \o K = K^2(Y - Z_1 - Z_2), или же L = T(Z_1 + Z_2 - Y). Поскольку дивизор Z_1+Z_2 биканонический, имеем L = K(-Y). Это, если вглядеться, очевидно. Соответственно, пучок E получается как расширение O_Y \to E \to K(-Y). Заметим, что образ H^0(O+O) \to H^0(E) не пересекает подпространства H^0(O_Y): формы \alpha и \beta как раз имеют нули достаточных порядков, чтобы попадать в H^0(K(-Y)). Если опять же эти наши два класса приходят с абелевой поверхности, то их общие нули соответствуют клювообразным особенностям образа вложения. В этом случае сглаживаемость очевидна: кривая большого рода на абелевой поверхности высекается гиперплоскостью, а общее сечение гладко по теореме Бертини. В связи с этим утверждение о разводимости нулей дифференциалов можно было бы иронически назвать 'теоремой Бертини для квантовой абелевой поверхности'.

Хотелось бы сказать, что раз H^0(O_Y) отображается в H^1(T) инъективно, то все нули можно разводить независимо -- достаточно взять вектор с ненулевой позицией только в данном нуле. Это, однако, неверно. Рассмотрим гиперэллиптическую кривую рода три и две 1-формы на ней, имеющие два общих нуля. На гиперэллиптической кривой рода три, напомню, каноническим является всякий дивизор вида x + s(x) + y + s(y), где s -- гиперэллиптическая инволюция. Тогда h^0(O_Y) = 2, а пространство H^0(K(-Y)) исчерпывается нашими двумя формами, и ограничение связывающего гомоморфизма H^0(O_Y) \to H^1(T) высекает всё Зариски-касательное пространство к малому изопериодическому слоению. Однако из соображений размерности для проекции в изотропный грассманиан видно, что малое изопериодическое слоение для кривых рода три одномерно. Что нам нужно понять в данном случае, так это следующее: лист малого изопериодического слоения является пересечением двух листов большого изопериодического слоения; является ли оно в данном случае нетрансверсальным по всей своей длине (что означало бы, что нули развести нельзя вовсе), или же оно нетрансверсально только в одной точке (что означало бы, что нули разведутся, но сразу оба)?

Заметим однако, что этот случай очень вырожден. Эйлерова характеристика \chi(E) равняется с одной стороны g-1, а с другой deg(Y) + h^0(K(-Y)) - h^1(K(-Y)). Отсюда видим, что h^0(K(-Y)) = g-1 + h^1(K(-Y)) - deg(Y). Ясно, что h^0(K(-Y)) < g: не существует точки, в которой бы обнулялись все голоморфные 1-формы. Следовательно, h^1(K(-Y)) \leq deg(Y); в нашем случае это равенство. Хотя шут их знает, может оно всегда равенство.

Current Mood: hungry