Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2017-08-23 21:21:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: hungry
Entry tags:алгебра

Странности
Всякий, кто видел комплекс Лодея-Пирашвили, удивлялся несимметричности формулы для дифференциала.



Кажется, я понял, в каком смысле эта формула 'неправильная'.

Комплекс Шевалле-Эйленберга для алгебры Ли \g, из которого эта формула происходит, хорош тем, что из него легко получить бикомплекс Вейля: нужно просто выписать комплексы Шевалле-Эйленберга для всех модулей \Sym^i(\g^*) и расположить их один над другим, сдвинув i-й комплекс на i вправо, а потом добавить вертикальные стрелки \Sym^i(\g^*) \o \Lambda^j(\g^*) \to \Sym^{i+1}(\g^*) \o \Lambda^{j-1}(\g^*), которые происходят из дифференциала на алгебре \Sym(\g^*) \o \Lambda(\g^*), который кососимметрические образующие переводит в соответствующие симметрические, а симметрические в 0. Ещё нужно в нечётных строках обратить знак, но не суть.

Было бы логично ожидать, что аналогичный комплекс существует для всех лейбницевых алгебр. Однако если попытаться составить бикомплекс аналогичным образом из комплексов Лодея-Пирашвили для \g-модулей (\g^*)^{\o i}, ничего не получится. Тем не менее, мы знаем нулевую строку (она получается просто распространением скобки по правилу Лейбница). Кроме того, понятно, как должны быть устроены столбцы: дифференциалом в них должно быть дифференцирование тензорной алгебры T(\g^*[1] \oplus \g^*[2]), заданное на образующих как [1] на \g^*[1] и 0 на \g^*[2].

Отсюда можно понять, как выглядит по крайней мере нулевой дифференциал в 'правильном' комплексе Лодея-Пирашвили для коприсоединённого бимодуля А алгебры \g: это есть отображение A \to (A \o \g^*) \oplus (\g^* \o A), задающееся как (da)(g \oplus g') = ([g,a] \oplus -[a,g']). Оно вообще-то логично: отображение [-,g] есть дифференцирование, а [g,-] -- антидифференцирование алгебры Лейбница, а дифференцирования и антидифференцирования всегда ходят парами. Соответственно, для произвольного \g-бимодуля этот дифференциал должен быть устроен совершенно так же.

Возникает соблазн определить алгебру Вейля для алгебры Лейбница \g как T(\g^*[1] \oplus \g^*[2]), где дифференциал задан на образующих так, как сказано выше, и распространён по правилу Лейбница. Но это противоречит тому соображению, что строками бикомплекса Вейля должны быть комплексы Лодея-Пирашвили (некоторым образом подправленные) с коэффициентами в тензорных степенях коприсоединённого бимодуля: в таком образовании будут встречаться компоненты типа \g^*[1] \o \g^*[2] \o \g^*[1] \o \g^*[2] \o \g^*[2] \o \g^*[1], ожидать, что их можно воспринять в терминах бимодуля (\g^*[2])^{\o i}, странно. Видимо, правильно думать про какой-то факторбикомплекс этого бикомплекса.

Но странно всё это: не могли же ни Лодей, ни Пирашвили оба не заметить сего очевидного соображения. При этом, конечно, когомологии у таких подправленных комплексов получаются совершенно другие, даже нулевые. А про когомологии Лодея-Пирашвили что-то доказано: например, что имеет место равенство HL^*(\g, M) = \Ext^*_{UL(\g)}(U(\g_Lie), M). Это означало бы, что и их определение лейбницевской универсальной обёртывающей неправильное -- а на той есть уже структура диалгебры, и т. д. Вообще это уже всё наверняка где-то написано, но нагуглить я не смог.

PS. Правильно было бы, конечно, сразу алгебру Алексеева -- Майнренкена обобщать, как учит нас [info]lenik_r@lj -- но там что-то совсем сложно.



(Добавить комментарий)


[info]deevrod
2017-08-24 05:49 (ссылка)
> нулевую строку (она получается просто распространением скобки по правилу Лейбница)
Это, конечно, брехня -- так получится комплекс Хохшильда, а дифференциал Лодея-Пирашвили получается каким-то тайным деланием. Это отчасти и отвечает на весь вопрос (ну какая алгебра Вейля, если даже алгебра Шевалле-Эйленберга не дифференциально-градуированная), но мало ли, может, можно что-то написать.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-08-24 13:09 (ссылка)
Камера, куда собирали этапируемых на Иркутск, была еще пуста, сидел мужик за столом, а на полу в углу совсем еще мальчик с очень чистыми и правильными чертами лица. Я что-то сказал ему, но он не ответил ни слова и всё время сидел так же молча и неподвижно, только раз поднялся попить воды, и мне показалось, что он ходит как бы с трудом. Тут с гиком и криком вбежали малолетки — и для них этот мальчик не представлял никакой загадки, он был пассивный педераст, причем стал им только что и помимо своей воли, какой-то ужас стоял в его глазах. Малолетки, вбежавшие в камеру с шумом резвящихся школьников, сразу же захотели воспользоваться этим мальчиком, заспорили даже, как его иметь — через зад или через рот, и угрозами заставили залезть к себе на верхние нары. Сверху слышалось тяжелое пыхтенье и угрозы: «Разожми, сука, зубы, хуже будет!» Этот несчастный мальчик и сопротивлялся и уступал молча…

(Ответить) (Уровень выше)


[info]wieiner_
2017-08-24 15:44 (ссылка)
я что-то вспоминаю эти хитрости. нечетные "внешние" - кососимметричные, четные - контрвариантные, симметричные. но тут у тебя "замусорено синтаксическим сахаром сильно", плохо понятно. но формула на картинке еще и четверичная, потому что таких сумм джве и они со сдвигом. вот бы это все в четверичную дифференциальную логику! у меня наработки есть, но надо накрасть из Вейля, Вербицкого и Со.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2017-08-24 18:01 (ссылка)
никогда не лезь в трубы
застрянешь, потом хуй оттуда вылезешь
хорошо, если спасатели доберутся и распилят
а если нет?
http://kadu.ru/video/343981-Bivis_i_Bathed-4_sezon_22_seriya_Truba_smerti?start=0

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]wieiner_
2017-08-24 18:29 (ссылка)
да чегож. давно тут сидим
https://youtu.be/lxhPTZEoCb0?t=4m19s

(Ответить) (Уровень выше)


[info]wieiner_
2017-08-24 16:57 (ссылка)
тоесть: из Вейля, Вербицкого и Паниковского.

(Ответить)