Настроение:	hungry
Музыка:	Алла Пугачева ft. Snoop Dogg - Из Ниоткуда
Entry tags:	геометрия

О кривизнах Липшица-Киллинга некоторых четномерных тел
Задачи выпуклой геометрии можно переводить на язык дифференциальных форм (но, вообще говоря, не обратно). Именно, телу K \subset R^n можно поставить в сответствие (1,1)-форму на многообразии GL(1,C)^n следующим образом. Рассмотрим на сопряжённом пространстве R_n функцию f(y) = \int_{x \in K} e^{y(x)}dx (преобразование Лежандра опорной функции тела K). Оттянем её на GL(1,C)^n вдоль естественной проекции z \mapsto \log |z|, и напишем dd^c от неё. Получившуюся форму обозначим \omega_K. Оказывается, что если K_1, ... K_n -- выпуклые тела в R^n, то их смешанный объём может быть выражен как интеграл \int \omega_{K_1} \wedge ... \wedge \omega_{K_n}. Более того, если брать утверждения выпуклой геометрии, переводить их таким образом на язык дифференциальных форм, а затем механически подменять GL(1,C)^n произвольным n-мерным кэлеровым многообразием, а формы \omega_{K} -- формами кривизн некоторых линейных расслоений, иногда будут получаться верные утверждения, притом чисто алгебраико-геометрические. Каноническим примером здесь служит неравенство Тессье-Хованского, получающееся из неравенства Александрова-Фенхеля на смешанные объёмы. На самом деле, других примеров я не знаю, если кому интересно, читайте Громова (pdf, 1,5 МБ).

Смешанный объём это форма пересечения на вторых когомологиях; а на компактных гиперкэлеровых многообразиях, как известно, из неё извлекается корень, то есть существует квадратичная форма Бовиля-Богомолова q такая, что q(\alpha)^n = \int \alpha^{2n}, где 2n -- комплексная размерность (это называется соотношением Фуджики). Было бы смешно, если бы можно было её определять в выпуклой геометрии на каких-то классах тел. Тривиальный случай -- семейство тел, гомотетичных друг другу; или например случай n=1. Естественный кандидат это тела в R^4 вида X \x Y, где X, Y \subset R^2, но что-то форма у меня не пишется. Если мы задали квадратичную форму Q с условием Q(X)^n = Vol(X) на некотором классе тел, будем называть тела этого класса Q-гипервыпуклыми.

Если единичный шар B является Q-гипервыпуклым, то можно сразу выразить геометрически значение Q(K, B) для любого Q-гипервыпуклого тела K и, более того, найти соотношение на кривизны Липшица-Киллинга его границы. Именно, по формуле трубки имеем Vol(K + \eps B) = Vol(K) + \eps Area(\partial K) + \eps^2/2 Mean(\partial K) + ... (если кто не верит, может посчитать для многогранника). С другой стороны, Vol(K + \eps B) = Q(K + \eps B)^n = (Q(K) + 2\eps Q(K, B) + \eps^2 Q(B))^n; раскрывая скобки и группируя степени параметра, получаем:

Vol(K) = Q(K)^n
Area(\partial K) = 2nQ(K)^{n-1}Q(K, B)
Mean(\partial K) = 2nQ(K)^{n-1}Q(B) + 4n(n-1)Q(K)^{n-2}Q(K, B)^2

Первое равенство мы уже предположили, а из второго имеем Q(K, B) = Vol(K)^{(1-n)/n}Area(\partial K)/{2n}. Подставляя это соотношение в выражение на интеграл средней кривизны, получаем некое условие на среднюю кривизну. Возможно, оно равносильно изопериметрическому неравенству; в таком случае мы бы доказали, что шар не принадлежит никакому нетривиальному семейству гипервыпуклых тел.