Нечетные совершенные числа
Совершенное число - число, равное сумме своих делителей.
Известная гипотеза (весьма классическая) утверждает, что
нечетных совершенных чисел не бывает.

Вот тут доказывается, что если нечетное совершенное число
бывает, у него самое малое 9 различных простых делителей,
и 12, если оно не делится на 3.

Также рассказывают про современное состояние этой науки.
Оказывается

1. Нечетное совершенное число имеет вид \pi^\alpha m^2,
где \pi простое, и \pi и alpha сравнимы с 1 mod 4.

2. Нечетное совершенное число больше 100^{300}

3. Наименьший простой делитель нечетного совершенного числа N
удовлетворяет p_1 < 2/3 k + 2, где k - число разных простых
делителей его. Кроме того, N < 2^{4^k}.

4. Запишем нечетное совершенное число в виде
\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}. Тогда сумма
всех \alpha_i больше 47.

Всюду жизнь.

Привет