ljr_math: The Hahn-Banach Theorem: The Life and Times

(Добавить комментарий)

	akater 2008-01-13 13:58 (ссылка)
	На Бурбаки ссылку? Вот. Или на что? (Ответить)

akater
2008-01-13 14:04 (ссылка)

> Пусть в топологическом векторном пространстве V задано
> выпуклое подмножество K, и замкнутое аффинное подпространство
> A. Тогда в V существует замкнутая гиперплоскость,
> содержащая A, и не пересекающая K.

По меньшей мере A не должно пересекаться с K,
в данной формулировке про это ничего не говорится.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2008-01-13 19:22 (ссылка)
	Ага, скосячил - спасибо Такие дела Миша (Ответить) (Уровень выше)

akater
2008-01-13 14:19 (ссылка)

Ну да, если M --- линейное многообразие, не пересекающееся с A, и A непусто & выпукло, то всё верно (Бурбаки, ТВП, глава 2, параграф 3, теорема 1). Но у них там всё над \mathbb{R}. Для перехода к \mathbb{C} есть стандартный трюк (через Re f - i Re f), вроде должен сработать. Насколько я понимаю, он чисто алгебраический, и даже нехаусдорфовость тут не помешает.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2008-01-13 20:05 (ссылка)
	Мне как раз вещественное и нужно. Но есть сомнения - не нужно ли дополнительно открытости А? Сейчас посмотрю в Бурбаках, спасибо! Такие дела Миша (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	akater 2008-01-13 20:20 (ссылка)
	Ой, и открытость, да. Я идиот. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2008-01-13 20:35 (ссылка)

А хочется вместо открытости условие типа
"К - выпуклый конус, не содержащий вместе с
любым элементом x вектор -x". Я даже доказательство
отчасти выдумал, но боюсь наврать.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dimpas 2008-01-14 07:15 (ссылка)
	вроде бы упражнение 5 на стр 101 в Бурбаках противоречит желаемому (конус {(X,Y,Z)\|X>=0,Y>=0,Z>=0, Z^2<=XY} и прямая {(0,Y,1)} неотделимы гиперплоскостью) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2008-01-14 13:15 (ссылка)

Спасибо!
Но хочется про конус без нуля,
в конечномерном (и даже гильбертовом) случае
я придумал простое доказательство, что можно отделить,
в случае произвольного локально выпуклого пространства
не уверен. Нужно ж для пространства гладких форм
с равномерной сходимостью всех производных, а оно
даже не банахово.

В вышеуказанном примере, если убрать нуль, то
конус отделяется от прямой плоскостью (0,Y,Z),
так что все работает.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dimpas
2008-01-14 14:03 (ссылка)

гм, но прямая (0,Y,1) просто-таки лежит в плоскости (0,Y,Z)...

Вообще, если 0 выкинуть, все равно не получается: нам подходит только плоскость, параллельная (0,Y,1), т.е. заданная уравнением
Z=aX+d, т.ч. d\neq 1. Для любого положительного Y=y в положительном квадранте плоскости Y=y прямая Z=aX+d должна отделять точку Z=1,X=0 от графа кривой Z=\sqrt{yX} (и всего, что под графом), что при фиксированных a, d невозможно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2008-01-14 15:37 (ссылка)

>гм, но прямая (0,Y,1) просто-таки лежит в плоскости (0,Y,Z)...

А это мне и нужно. См. выше:

"в V существует замкнутая гиперплоскость,
содержащая [аффиннов пространство] A, и не пересекающая
[конуса] K"

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dimpas 2008-01-14 15:45 (ссылка)
	упс, пардон, обсуждал другую теорему :( (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2008-01-14 15:58 (ссылка)
	Ну да. А моя версия, я почти уверен, давно известна. То есть докажу я ее, запишу доказательство, а потом на меня опять станут коллеги катить за передоказывание велосипеда (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dimpas 2008-01-14 16:10 (ссылка)
	надо бы посмотреть в "Convex Analysis" R. Tyrrell Rockafellar, ISBN: 978-0-691-01586-6 или спросить кого; может, Сашу Барвинка? (хотя он конечно гораздо больше комбинаторно–конечномерный человек) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2008-01-14 22:03 (ссылка)

Спасибо, да.
Я придумал слабую версию, которая меня вполне устраивает.

ТЕОРЕМА. Пусть в локально выпуклом топологическом векторном пространстве V задано
открытое выпуклое подмножество K, и замкнутое аффинное подпространство,
не пересекающее замыкания А. Выберем точку k в замыкании K. Тогда в V
существует замкнутая гиперплоскость, содержащая A, не
пересекающая K, и не проходящая через k.

А сильная версия, похоже, верна только в конечномерной
ситуации - мое гильбертово и банахово доказательство
оказалось фуфлом.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2008-01-14 13:17 (ссылка)
	Забыл сказать: этот конус, конечно, моему условию "не содержащий вместе с любым элементом x вектор -x" не соответствует, ибо содержит нуль. (Ответить) (Уровень выше)