Contact Dehn surgery, symplectic fillings, and Property P
Одно из самых замечательных достижений трехмерной
топологии последних лет изложено Гейгесом вот тут.
Доказывается следующее:

ТЕОРЕМА 1. два узла изотопны, если их
дополнения гомеоморфны.

Доказывается это следующим замечательным образом.
Дополнение к узлу имеет границу, диффеоморфную тору.
Есть столько способов доклеить к ней полноторий,
сколько есть диффеоморфизмов из тора в тор.
Результат такого доклеивания называется хирургией
Дэна вдоль узла. Нетривиальная хирургия Дэна -
это когда полноторий приклеили нетривиальным
образом.

Пусть дан узел в трехмерной сфере. Мы говорим, что
он "имеет свойство P", если в результате любой нетривиальной
хирургии Дэна вдоль этого узла получается неодносвязное
многообразие.

Кронхаймер-Мровка доказали следующую удивительную
теорему.

ТЕОРЕМА 2 Каждый нетривиальный узел
в S^3 имеет свойство P.

Теорема 1 следует из Теоремы 2, и это довольно понятно.
Действительно, если узел обладает свойством P, то есть
ровно один спосо б вклеить полноторий в трубчатую
окрестность этого узла, чтоб получилась сфера. Поэтому
каждый гомеоморфизм дополнений к узлам продолжается
однозначно на сами узлы.

Теорема Кронхаймера-Мровки доказывается посредством
контактной геометрии и инвариантов Сайберга-Виттена.

Не буду подробно рассказывать, что есть контактное
многообразие (вот тут есть полезные лекции Гейгеса
про это самое). Если вкратце, то контактное многообразие
это многообразие, где задано поле гиперплоскостей
коразмерности 1 (контактное распределение), максимально
неинтегрируемое: коммутатор векторных полей, лежащих в
этих гиперплоскостях, будучи спроектирован в фактор
по ним, задает симплектическую форму на каждой
гиперплоскости. Лежандров узел - узел,
касательный контактному распределению.

Нормальное расслоение к лежандрову узлу топологически
тривиализовано, поскольку в нем задан вектор, касательный
контактному распределению. Это задает выбор хирургии вдоль
узла или линка (называется контактная \pm 1-хирургия).
Динг и Гейгес доказали, что любое 3-многообразие
может быть получено из 3-сферы контактной \pm 1-хирургией
вдоль некоторого лежандрова линка.

Конус над контактным многообразием имеет каноническую
симплектическую структуру (это одно из определений
контактного многообразия). Сильно симплектическое заполнение
контактного 3-многообразия X - это такое симплектическое
4-многообразие M, что X является его краем, а в окрестности
X М симплектоморфно конусу над X. Слабо симплектическое
заполнение X - это когда X диффеоморфно краю
симплектического 4-многообразия M.

Элиашберг доказал, что слабо
симплектическое заполнение компактного
контактного многообразия можно симплектически
вложить в компактное симплектическое многообразие:
http://arxiv.org/abs/math.SG/0311459

Это чрезвычайно нетривиальный результат.

Используя инварианты Дональдсона, Сайберга-Виттена
и когомологии Флоера для этого симплектического
многообразия, можно доказать свойство P для
нетривиального узла. Доказательство этого
(совершенно непонятное) имеется у
Кронхаймера-Мровки вот тут:
http://arxiv.org/abs/math.GT/0311489

Привет