On nef reductions of projective irreducible symplectic manifolds

Статья Мацушиты
Title: On nef reductions of projective irreducible
symplectic manifolds
Authors: Daisuke Matsushita

Очень хорошая статья, длиной всего 5 страниц.
С большим числом благодарностей katia внутре.

Голоморфное симплектическое многообразие есть
многообразие с голоморфной симплектической формой.
Оно называется простым, если оно допускает кэлерову
структуру, компактно, не является тором, и не имеет
конечных накрытий, которые раскладываются в произведение
голоморфных симплектических многообразий меньшей
размерности. На дифференциально-геометрическом
языке, простое голоморфное симплектическое многообразие
это то же самое, что гиперкэлерово многообразие,
голономия которого равна в точности Sp(n)
(и не меньше).

На вторых когомологиях неразложимого голоморфного
симплектического многообразия есть замечательная
симметрическая форма q сигнатуры (3, b_2-3), называется
форма Богомолова-Бовилля-Фуджики. Природа ее
сугубо топологическая: подалгебра когомологий,
порожденная вторыми когомологиями, вычисляется явно,
и мультипликативная структура на алгебре когомологий
инвариантна относительно SO(H^2(M), q). Этим
свойством форма q задается однозначно, с
точностью до множителя. Также можно определить
форму Богомолова-Бовилля-Фуджики как
\[
x, y \arrow
\int_M x\wedge y \wedge \Omega^{m-1}\bar\Omega^{m-1},
\]
где m это половина комплексной размерности
многообразия, а \Omega - голоморфная симплектическая
форма. Еще можно определить форму
Богомолова-Бовилля-Фуджики через
\[
q(x,y)^m = \int_M (x\wedge y)^m (*)
\]


Мацушита доказал, что любое сюрьективное
голоморфное отображение из простого голоморфного
симплектического многообразия есть лагранжево
слоение (общие слои половинной размерности
и лагранжевы) на нечто рациональное, причем база
слоения изоморфна CP^n, если она нормальна.

Такое отображение задается линейной системой,
связанной с линейным расслоением L, причем
q(L) (оно же q(c_1(L), c_1(L))) равно 0.
Гипотетически, верно и обратное: если L
это nef-дивизор на простом голоморфно
симплектическом многообразии, а q(L,L)=0,
то соответствующая линейная система всегда
задает лагранжево слоение.

Это весьма важная гипотеза.

Мацушита доказал эту гипотезу в
дополнительном предположении, используя
понятие nef-редукции, введенное в статье
8 авторов Thomas Bauer, Frederic Campana, Thomas Eckl,
Stefan Kebekus, Thomas Peternell, Slawomir Rams, Tomasz
Szemberg, Lorenz Wotzlaw (подробно см. вот тут)

Пусть L - неф-расслоение на X. Назовем две точки L-эквивалентными,
если они соеднияются цепочкой кривых C_i, причем (L, C_i)=0.
Оказывается, что это соотношение эквивалентности определяет
рациональное отображение X -> Y, причем слои этого отображения
состоят из эквивалентных точек. Это и называется неф-редукция.
Неф-размерность n(L) дивизора L равна размерности Y.
Имеет место следующее (достаточно очевидное) неравенство:
\[
k(L) \leq \nu(L) \leq n(L)
\]
Здесь k(L) есть размерность Кодаиры L, то есть
размерность градуированной алгебры \oplus_n \Gamma(nL),
а \nu(L) - численная размерность Кодаиры, то есть степень
эйлеровой характеристики nL, выраженная как полином
от n. Если k(L)=\nu(L), то L полуобильно,
то есть линейная система nL свободна для больших n
(не имеет базовых точек). Это доказал Кавамата в 1985-м
году ([Ka85] Kawamata,Y., Pluricanonical systems on
minimal algebraic varieties. Inv. math. 79). Доказательство
см. Аппендикс.

Теорема Мацушиты формулируется так

Теорема Пусть X проективное простое
симплектическое многообразие, L неф-дивизор,
n(L)< \dim X. Тогда L полуобильно, и соответствующая
nL линейная система задает лагранжево
слоение.

Доказательство.
Лагранжевость следует из полуобильности,
следующим образом (и это доказано Мацушитой
очень давно). Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ есть
голоморфное сюрьективное отображение, Y проективно,
а общий слой \phi имеет ненулевую размерность.
Обозначим за \omega_0 кэлеров класс Y,
за \omega его поднятие в X. Очевидно,
$ \omega^{\dim X}=0 $. По формуле(*),
это значит, что $q(\omega,\omega)=0$.
В силу того, что алгебра когомологий,
порожденная H^2, свободна для размерности
меньше 1/2\dim X, из $q(\omega,\omega)=0$
следует, что $\omega^{1/2\dim X}\neq 0$,
$\omega^{1/2\dim X+1}= 0$. Значит, слои
\phi имеют половинную размерность.
По еще одному определению формы Б-Б-Ф,
\[
q(\omega,\omega)=
\int_M\omega\wedge \omega\wedge
\Omega^{m-1}\wedge \bar\Omega^{m-1}
\]
Подынтегральная форма положительная, а раз соответствующий
интеграл равен нулю, то и эта форма равна нулю. Расписав
этот интеграл в координатах, мы обнаружим, что он
равен нулю тогда и только тогда, когда
$\Omega$ зануляется на нуль-пространстве $\omega$.
Но это нуль-пространство есть касательное
пространство к слоям \phi. Поэтому слои
лагранжевы.

Полуобильность же доказывается вот как.
Численная размерность Кодаиры
$\nu(L)$ - это самое большое i, для
которого $\omega^{i}\neq 0$. В силу
выше упомянутого вычисления когомологий,
мы имеем $\nu(L)=1/2\dim X$ либо
$\nu(L)=\dim X$. По условию,
\[
\nu(L) \leq n(L)<\dim X,
\]
следовательно $\nu(L)=1/2\dim X.$

В силу теоремы Каваматы, нам нужно только
доказать, что $\nu(L)=k(L)=1/2\dim X$.
Рассмотрим неф-редукцию X\arrow S,
и пусть
\[

    \pi
X <----- Y
        /
       /
      /
     /g
    /
   /
  /
 /
S
\]

соответствующие голоморфные отображения
(Y бирационально X и проектируется на S).
Рассмотрим обильный дивизор A на S, и пусть
\[
L_1:= \pi^* g^* A
\]
обозначает его поднятие в X. Взяв два общих сечения
для A на S и подняв их до дивизоров H_1, H_2 на X,
мы получим
\[
q(L_1, L_1) = \int_{H_1\cap H_2} \Omega^{m-1}\wedge \bar \Omega^{m-1}
\]
Это интеграл от положительной формы по циклу.
Следовательно, $q(L_1, L_1)\geq 0$.

Если б мы имели $q(L_1, L_1)>0$, размерность
пространства сечений расслоения $n L_1$ росла бы
как $n^{\dim X}$, как следует из результатов Демайи
и Буксома (такие расслоения называются big-расслоениями).
Это невозможно, поскольку в этом $n g^* A$ тоже было бы
big, но $H^0(n g^* A)$ растет как $n^{\dim S}$, ибо A обильно
на S. Поэтому $q(L_1, L_1)=0$.

Лемма 1.
$q(L, L_1)=0$.

Доказательство леммы. Выше доказано, что
$q(L_1, L_1)=q(L,L)=0$. Поэтому нужно
доказать, что $q(L+L_1,L+L_1)=0$. Поскольку
это неф-расслоение, имеем $q(L+L_1,L+L_1)\geq 0$.
Если бы имело место $q(L+L_1,L+L_1)>0$, то
по тому же самому аргументу, использующему
результаты Демайи и Буксома, $L+L_1$ было бы
big-расслоением. С другой стороны, по конструкции,
$L+L_1$ ограничивается нулем на слои неф-редукции,
и поэтому не может быть big. Это доказывает
Лемму 1.

Из Леммы 1 сразу следует, что образ L в H^{1,1}(X)
пропорционален образу L_1. Действительно, q зануляется
на пространстве, порожденном L, L_1. С другой стороны,
форма ББФ на H^{1,1}(X) имеет ровно одно
отрицательное собственное значение,
и поэтому, если задано $V\subet H^{1,1}(X, \R)$
с $q\restrict V=0$, то $\dim V=1$. Следовательно,
над \Q мы имеем
\[
\lambda \pi^* L = g^* A + \sum e_iE_i (**)
\]
где E_i - исключительные дивизоры \pi.

Теперь мы можем доказать теорему Мацушиты.
Из (**) следует, что размерность пространства
сечений nL растет не медленнее, чем размерность
пространства сечений A: $k(L)\geq k(A)$.
С деугой стороны, по определению
неф-размерности, $k(A) = n(L)$. Имеем
\[
n(L) = \nu(L) \leq k(L) \geq k(A) = n(L).
\]
Следовательно, числа n(L), k(L), \nu(L)
равны. Применяя теорему Каваматы, получаем,
что L полуобильно. Теорема Мацушиты доказана.

Аппендикс.
Доказательство теоремы Каваматы:
пусть L - неф-расслоение, такое, что k(L)=\nu(L).
Тогда L полуобильно, то есть линейная система nL
свободна для больших n (не имеет базовых точек).

Для доказательства полезно переформулировать определение
численной размерности Кодаиры: \nu(L) есть степень
H^0(A+nL) (по n), где A есть очень обильный дивизор.
В такой ситуации, $A+nL$ тоже очень обильно, по
критерию Накано-Мойшезона.

Пусть C - дивизор нулей сечения A, D - дивизор L
(если нет сечений, заменим L на некоторую степень L).
Из точных последовательностей
0 -> n L -> (n+1)L -> (n+1) L |_D -> 0
0 -> nL + A -> (n+1)L+A -> (n+1)L+A |_D -> 0
ясно, что ограничение L на D удовлетворяет
\[
k(L|_D)=k(L)-1, \nu(L|_D)=\nu(L)-1,
\]
Пользуясь индукцией по размерности базового
многообразия, можно предположить, что
ограничение L на D полуобильно. Для доказательства
теоремы Каваматы осталось показать, что последовательность
0 -> H^0 (n L) -> H^0 ( (n+1)L ) -> H^0 ( (n+1) L |_D )
точна.

Рассмотрим такую диаграмму (строки и столбцы -
точные последовательности когерентных пучков)

                                i
0 -> n L       ---> (n+1)L     ---> (n+1) L  |_D         -> 0
      |               |h                 |a
      V         g     V         b        V
0 -> nL + A    ---> (n+1)L+A   ---> (n+1)L+A |_D         -> 0
      |f              |c                 |
      V         d     V         e        V
0 -> nL + A|_C ---> (n+1)L+A|_C---> (n+1)L+A |_(D\cap C) -> 0

Пусть x - сечение (n+1) L |_D. Поскольку $nL + A$
очень обильно, средняя строчка индуцирует
точную последовательность H^0, и у (n+1)L+A
есть сечение y такое, что b(y)=a(x).

Очевидно, e(c(y))=0, значит, есть
$z\in H^0(nL + A|_C)$ такой, что
d(z)=c(y). Поскольку nL+A очень
обильно, у nL+A есть сечение w такое,
что f(w)=z. Теперь g(w)-y лежит в ядре c,
а следовательно, у (n+1)L есть сечение
v такое, что h(v)=y. По построению,
$a(i(v))=b(y)=a(x)$, и в силу инъективности
a, мы имеем $i(v)=x$. Теорема Каваматы
доказана.

Внятного доказательства ее я не нашел
(библиотек тут понятно нет), так что выше
приведенное рассуждение пришлось изобретать
самостоятельно. Не исключено, что у Каваматы
аргумент более понятный.