Это, по-моему, совсем не строго, потому что тригонометрические функции - это некоторые степенные ряды. А через окружность в школе они определяются тавтологически, по-моему. Вроде бы нестрого угол определён или что-то в этом роде. Мне кажется, что надо просто отобразить x на косинус, а y - на синус и посмотреть свойства отображения.

Я вдруг осознал очевидный факт - нам вообще не нужно переходить к тригонометрическим многочленам. Для мотивации это хорошо, но уже зная формулы урниверсальной подстановки мы же можем попросту перевести x и y в две соответствующие дроби от какой-то переменной z и дальше просто проверять, что это даёт эпиморфизм на C(z), у которого ядро - идеал (x^2 + y^2 - 1). Тогда всё можно сделать ни разу не сославшись на тригонометрические функции (тем более, что доказывать изоморфность тригонометрических многочленов чему-нибудь, на мой взгляд, не проще).