[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| August 13th, 2011 | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 01:11 am [Link] |     Вот ещё, внезапно пришло на ум: инженерам и физикам, насколько я понимаю, векторное пространство определяют как множество с операциями сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющими тем-то и тем-то аксиомам (аж восьми, по-моему, но точно не помню — я никогда не мог себя убедить, что их все имеет смысл запоминать). При этом действие группы G на множестве X никто им не описывает как «точки из X с коэффициентами в G». И если какому-нибудь теорфизику сказать, что действие группы на множестве это просто множество с операциями, он, наверное, скажет, что «при таком подходе теряется весь смысл!», потому что «орбиты же, неподвижные точки!», и так далее. Меж тем, если ему сказать, что векторное пространство — это действие поля на аддитивной группе, то он скажет, что это всё абстрактные глупости. Причины этого мне не очень ясны. Единственное разумное объяснение, до которого я могу додуматься, — действие группы появляется в физике именно так, «как надо», а векторные пространства — всего лишь по инерции математического образования, и физики не задумываются, откуда берётся абелева группа, откуда берётся поле, и откуда берётся действие одного на другом. (Структура абелевой группы, по-видимому, происходит от принципа суперпозиции (ну а откуда ещё?), поле — из какого-нибудь требования «измерять скалярами», а действие поля на группе — из возможности переномировать шкалу. Но это всё — лишь праздные мудрствования, конечно.) Впрочем, несмотря на всю мою любовь к разложениям на составляющие, — типа, модуль как действие кольца на абелевой группе, или кольцо как действие одной группы в (абелевой) другой, — я нисколько не против того, чтобы сначала рассказывать формальные манипуляции, «через восемь аксиом», а потом объяснять глубокий смысл. А иначе люди более практического («физического») склада ума не понимают — это мной немножко проверено. | ||||||||||||||||||
| Comments | |||||||||||||||||||
>>> действие группы на множестве это просто множество с операциями Не совсем понял, как это? (Reply to this) (Thread)
Подобно тому, как представление группы - это просто модуль над групповым кольцом. (Reply to this) (Parent) Ну, можно сказать, что «действие группы на множестве X» — это просто совокупность выражений вида gx (x ∈ X), которые можно ассоциативно умножать слева на «коэффициенты из G»: g(hx) = (gh)x, и чтобы при этом всегда можно было решать уравнения вида gx = y, как x = g−1y. Кажется, можно даже не объяснять при этом, что gx ∈ X. Разумеется, никакой наглядной геометрической картинки (или наглядного алгебраического соответствия) при таком объяснении не появляется, но в сущности это то же самое, что и векторное пространство через восемь акисом, которое можно описывать как «удобный математический формализм для наших нужд». Я, надо сказать, не сомневаюсь, что достаточно упорный школьник, которому объяснили бы это определение, рано или поздно доказал бы достаточно продвинутые утверждения, типа формулы Бёрнсайда. (Reply to this) (Parent) | |||||||||||||||||||
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo-lj.gif){kind=small}