Мнимая пятимерная SO(3)-геометрия
Пятимерное представление SO(3) даёт интересный контрпример, а именно вещественную трёхмерную кубику, на которой транзитивно действует алгебраическими преобразованиями группа Ли (в частности, эта кубика гладка). Напомню, что это пятимерное представление есть подпредстваление в симметрическом квадрате тавтологического представления SO(3), перпендикулярное к тривиальному подпредставлению, натянутому на евклидову метрику -- иначе говоря, симметричные 3-на-3 матрицы с нулевым следом. На нём имеется кубическая функция f(A) = Tr(A^3). Почему SO(3) действует на ненулевых симметричных 3-на-3 матрицах с Tr(A) = 0, Tr(A^3) = 0 (с точностью до умножения на скаляр) транзитивно? Всякая вещественная симметричная матрица диагонализуема с вещественными собственными векторами, попарно перпендикулярными друг другу (находим один собственный вектор, и из соотношения (Av,w) = (v,Aw) вытекает, что матрица сохраняет ортогонал к собственному вектору и на нём также действует как симметричная матрица). Если собственные числа A равны a, b, c = -a-b, то Tr(A^3) = a^3 + b^3 - (a+b)^3 = -3ab(a+b) = 3abc. Таким образом, если Tr(A^3) = 0, то одно из собственных чисел A нулевое, а два других с точностью до умножения на скаляр это \pm 1. Конечно, любые две такие матрицы переводятся друг в друга действием ортогональной группы, потому как она действует транзитивно на ортонормальных реперах.

Все те же самые формулы можно написать и для комплексификации; таким образом, SO(3) будет действовать на трёхмерной комплексной кубике. С другой стороны, группа автоморфизмов гладкой гиперповерхности в \CP^n, за вычетом гиперплоскости, квадрики и K3-поверхности, конечна; таким образом, эта кубика обязана быть особой. Группа SO(3, \C) действует на ней с открытой орбитой (что видно из модификации вышеприведённого рассуждения); оно ломается только в том месте, где мы ортонормируем собственный базис симметричной матрицы: над \C собственный вектор может оказаться изотропным. Заметим, что в таком случае характеристический многочлен этой матрицы имеет кратный корень: в противном случае из-за условия (Av,w) = (v,Aw), применённому к собственным векторам, следует, что они должны быть попарно перпендикулярны друг другу, и изотропность одного из них означает, что скалярное произведение имеет ядро. Следовательно, либо A^3 = 0, либо её собственные числа равняются a, a, -2a. Во втором случае собственное число -2a имеет собственный вектор; поскольку он ортогонален корневому подпространству, соответствующему корню a, он содержится в ортогонале к изотропному собственному вектору (но притом не равен ему). В базисе, где e_1 это изотропный собственный вектор, а e_2 собственный вектор с собственным числом -2a, матрица A примет следующий вид:

a 0 b
0 -2a 0
0 0 a

В случае нильпотентной матрицы, кажется, тоже вклеивается нечто двумерное, расслоённое над CP^1, проективизацией изотропного конуса. Было бы занятно, есло бы можно было определять пятимерную SO(3)-структуру в терминах некого мнимого данного, подобно как можно определять комплексную структуру как пару мнимых подпространств. Но понять это я уже не могу.