Голоморфная конформная структура на изопериодическом листе кривых рода три
Зафиксируем кривую рода три с абелевым дифференциалом (S, \alpha) с простыми нулями z_0, z_1, z_2, z_3. Мы знаем, что изопериодические деформации этой пары определяются набором чисел в этих нулях с точностью до прибавления константы (будем для краткости называть такие наборы 'векторами'). При этом из них сохраняют периоды формы \beta те и только те векторы, которые имеют вид \{ \gamma(z_i)/\beta(z_i) \}_{i=0}^3, где \gamma -- какая-то третья голоморфная 1-форма на кривой, линейно независимая с нашими двумя. На кривой рода три такой вектор для фиксированной \beta единствен с точностью для пропорциональности и прибавления константы. Возникает вопрос: а какие векторы могут быть таким образом представлены для хоть какой-нибудь \beta?

Заметим, что прибавление к \beta, \gamma формы \alpha никак не меняет вектора. С другой стороны, из данного базиса \beta, \gamma все другие базисы порождённого ими пространства могут быть получены двумя преобразованиями: \beta' = \beta, \gamma' = a\beta + b\gamma, \beta' = \gamma, \gamma' = \beta. Первое соответствует умножению вектора на скаляр или прибавлению к нему константы; второе -- инволюции {a, b, c, d} |--> {1/a, 1/b, 1/c, 1/d}. Стартуя с данного вектора, какие векторы мы можем получить? Очевидно, они заметают какое-то подмножество в P^2 (проективизации фактора нашего четырёхмерного пространства по вектору {1, 1, 1, 1}). Саша Бердников заметил мне, что все три этих преобразования сохраняют двойное отношение четвёрки чисел {a, b, c, d}. Отсюда нетрудно вывести, что эти заметаемые подмножества будут либо прямыми или точками (последний случай, например, соответствует вырожденному случаю гиперэллиптической кривой, когда a = b, c = d), либо невырожденными квадриками. Следовательно, изопериодический лист для кривой рода три снабжён невырожденным полем квадратичных конусов, то есть голоморфной конформной структурой, и при этом малые изопериодические кривые, лежащие на нём, светоподобны относительно этой структуры.

Это подтверждает моё предположение, высказанное в одном из прошлых постов (в формате превращения теоремы в определение). Было бы интересно понять, можно ли эту конформную структуру реализовать какой-то голоморфной квадратичной формой, например как конус элементов Маурера-Картана для задачи деформирования кривой с парой дифференциалов.