| [ |
mood |
| |
awake |
] |
| [ |
music |
| |
АукцЫон -- 24-часовой концерт |
] |
Пусть g > 1, обозначим за \Omega\T_g тотальное пространство расслоения Ходжа над пространством Тейхмюллера \T_g, и p -- проекция. Тогда можно определить на нём тавтологическую 1-форму \theta как \theta_{I, \omega}(v) = (dp_*(v))(\omega^2), пользуясь тем, что касательное пространство T_I\T_g канонически изоморфно H^0(K_I^2)^*. Эта форма нигде не обращается в нуль, поскольку у любого ненулевого абелева дифференциала квадрат не обнуляется хоть каким-то функционалом на пространстве квадратичных дифференциалов. Внешняя производная этой формы будет тем самым точной 2-формой. Однако она не может быть невырожденной, поскольку размерность dim \Omega\T_g = 4g-3 нечётна.
Как вычислить эту внешнюю производную? Она имеет три компоненты: та, что определяется подстановкой двух вертикальных векторов, вертикального и горизонтального, и двух горизонтальных. В ограничении на слой, понятно, уже \theta тождественно зануляется, а тем самым и её внешняя производная, так что первая из этих компонент нулевая. Значение второй компоненты, легко видеть, выражается как d\theta(\alpha, v) = 2v(\alpha \o \theta). Как устроена горизонтальная компонента, я выписать в локальных координатах не смог. Э. Д., который навёл меня на мысль об этой форме, предположил, что интегральные кривые её ядра суть орбиты SL(2, R)-действия на пространстве модулей абелевых дифференциалов.
Эта форма позволяет дать описание изопериодической деформации как симплектической редукции. Именно, ортогонал вертикального вектора \alpha, торчащего из точки (I, \omega) \in \Omega\T_g относительно 2-формы d\theta есть всё вертикальное подпространство плюс горизонтальные вектора, соответствующие функционалам, обнуляющимся на квадратичном дифференциале \alpha \o \omega. Пересечение ортогоналов ко всем вертикальным векторам (ортогонал вертикального подпространства), стало быть, есть линейная оболочка самого вертикального подпространства и горизонтального подпространства, состоящего из функционалов, обнуляющихся на всевозможных квадратичных дифференциалах вида \xi \o \omega, где \xi \in \Omega(I). Итак, если V_{I, \omega} = \Omega(I) -- вертикальное подпространство (в частности изотропное), то фактор V^\perp/V имеет смысл и канонически изоморфен касательному подпространству к листу изопериодического слоения, проходящему через точку (I, \omega). Если бы форма d\theta была невырождена, то этот фактор наследовал бы симплектическую форму. Это, конечно, не имеет места: изопериодическая деформация также нечётномерна, и имеет размерность 2g-3. Впрочем, это всё совершенно неважно, поскольку сама форма \theta ограничивается на листы изопериодического слоения нулём.
Можно, конечно, дать аналогичную конструкцию для пары дифференциалов. Именно, рассмотрим расслоение 2-плоскостей Gr(2, \Omega\T_g) в расслоении Ходжа, и зададимся в нём какой-нибудь точкой (I, \varpi). Линейные комбинации произведений дифференциалов из этой плоскости \varpi составляют трёхмерное подпространство в квадратичных дифференциалах, которое аннулирует подпространство коразмерности три в касательном пространстве к Тейхмюллеру. Оттягивая его обратно в точку (I, \varpi) и повторяя эту операцию во всех точках, имеем распределение коранга три на пространстве модулей пар абелевых дифференциалов. Будем называть его тавтологическим распределением. Равно как для одного дифференциала, слои проекции на пространство Тейхмюллера и листы изопериодического слоения будут касаться этого распределения. Послойный грассманиан имеет размерность 5g-7, соответственно ранг распределения 5g-10. К сожалению, тензор Фробениуса в данном случае будет не внешней 2-формой, а внешней 2-формой с коэффициентами в расслоении ранга три, и поэтому сразу сделать заключение о наличии у него характеристического слоения, аналогичного тому, что нам с Э. Д. кажется слоением орбит SL(2, R)-действия, не представляется возможным. Из представленческих соображений кажется, что это распределение должно замыкаться за один шаг -- по крайней мере похожее, но однородное распределение на изотропном грассманиане Gris(2, V) с его родным распределением Hor_{\pi} = Hom(\pi, \pi^\perp/\pi) \subset Hom(\pi, V/\pi), кажется, замыкается за один шаг (и соответствующая ему нильпотентная алгебра есть кватернионный аналог алгебры Гейзенберга, абелева алгебра Ли размерности, делящейся на четыре, расширенная тремя симплектическими формами. Но полной уверенности нет. Для одного дифференциала получалась бы обычная алгебра Гейзенберга).
Чтобы не заканчивать совсем уж вилами по воде, докажу линейно-алгебраическое утверждение, оправдывающее это моё сравнение.
Утверждение. Отображение проекции Gr(2, \Omega\T_g) \to Gris(2, 2g) переводит горизонтальные подпространства (относительно тавтологического распределения, а не связности Гаусса-Манина) в горизонтальные.
Доказательство. Про то, что на слоях проекции на Тейхмюллера проекция связностью Гаусса-Манина в когомологии является инъективной и горизонтальной, не стоит и заикаться. Значит, нам нужно показать, что лежащая в горизонтальных для связности Гаусса-Манина векторах часть тавтологического распределения переводится проекцией в горизонтальные касательные вектора к изотропному грассманиану.
Но какие горизонтальные по Гауссу-Манину вектора лежат в тавтологическом распределении? Это подъёмы касательных векторов v \in T_I{\T_g} = H^0(K_I^2)^* таких, что v(\alpha \o \beta) = v(\alpha^2) = v(\beta^2) = 0. Касательное пространство же к изотропному грассманиану в точке \pi -- это отображения из Hom(\pi, V/\pi) с нулевым следом, а из них горизонтальные -- те, что лежат в Hom(\pi, \pi^\perp/\pi). Но горизонтальный по Гауссу-Манину вектор v отображается проекцией в ограничение соответствующего ему оператора Кодаиры-Спенсера на плоскость \pi, и если v(\alpha \o \beta) = v(\alpha^2) = v(\beta^2) = 0, то этот оператор переводит вектора из \pi в операторы, ограничивающиеся на \pi тождественным нулём -- то есть спаривания относительно формы пересечения с векторами из \pi^\perp, что и требовалось. ■
Маразм полный -- кажется, я это всё очень подробно уже прописал, и притом это очень окольными путями записанная тавтология. Типа, получается, что тавтологическое распределение это обратный образ однородного распределения на грассманиане. Возвращаясь к случаю одного дифференциала, выходит, что дифференциал тавтологической 1-формы должен быть обратным образом формы пересечения на когомологиях? Но это вроде как неправда.
|
calm
anxious
cold
lethargic![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif)
sick
tired