Сашенька В. любезно объяснила мне, как описывать поверхности Фано, параметризующие прямые на особых кубических трифолдах. Надо, как всегда, проецироваться из особой точки, скажем p. Если прямая l \subset X, где X -- наш трифолд, не проходит через p, плоскость, порождённая p и l, высекает на трифолде плоскую кубику, содержащую прямую l и имеющую особенность в точке p \not\in l. Такая кубика обязана распадаться в три прямые; соответственно, прямой l можно поставить в соответствие пару прямых, проходящих через p и лежащих на X. Если на X не лежит никакая плоскость, проходящая через точку p, то прямые, лежащие на X и проходящие через p, составляют в проективизации касательного пространства в точке p кривую, являющуюся пересечением квадрики и кубики (примерно как две прямые на квадрике в CP^3, проходящие через данную точку, составляют пересечение квадрики с линейным подпространством, получающимся дифференцированием задающих эту квадрику уравнений -- попросту говоря касательной плоскости). Пересечение квадрики и кубике имеет род четыре; таким образом, имеется отображение из (строго говоря, лишь компоненты) поверхности Фано в симметрический квадрат кривой рода четыре. Обратно, если есть пара точек на кривой рода четыре, сиречь пара прямых через точку p, лежащих на X, то на них можно натянуть плоскость, и она высечет помимо этих двух прямых ещё третью. Это и задаст биекцию (во всяком случае рациональную) компоненты поверхности Фано и симметрического квадрата кривой рода четыре. Могло бы показаться, что прямые, проходящие через точку p, к этой компоненте не относятся; это конечно неправда: каноническая ривая рода четыре имеет однопараметрическое семейство трисекущих, которое определяет нетривиальное вложение кривой рода четыре в свой симметрический квадрат.

Нам, однако, хотелось бы получить рациональную компоненту. Этого можно было бы добиться просто найдя кубику, содержащую плоскость. Мы однако верим, что общие две прямые из нашего семейства не пересекаются, так что это нам не подходит. Значит, наверное, следует выродить кривую рода четыре в скрученную кубику. Можно совершать поиск в обратном направлении: стартуем со скрученной кубики в CP^3, возведём над нею конус в CP^4, с вершиной p вне этого CP^3, и будем подбирать кубический трифолд, на котором этот (двумерный) конус бы лежал -- таким образом, чтобы этот трифолд сам не был бы конусом с вершиной в p. Если бы можно было продеформировать в такое образование обычный особый кубический трифолд, компонента, содержащая прямые через p, при этом отпадала бы -- у кривой Веронезе-то никаких трисекущих нет! Но вообще надежда есть: даже в википедии написано, как представить толстую в схемном смысле скрученную кубику как пересечение квадрики и кубики.

Вообще пиздец какой-то, вырождение особенностей у трифолдов, блин. Скоро буду писать посты со словами 'пусть \g редуктивная алгебра Ли'.