Пример схемы с гомотопически неинвариантной группой Пикара
Для начала я напомню один хорошо известный факт.

Теорема: Пусть X есть регулярная схема, тогда Pic(X)=Pic(X\times A^1).

Стандартное доказательство критическим образом опирается на изоморфизм группы Пикара регулярной схемы с группой классов дивизоров Вейля, см. гл II книжки Хартсхорна. Естественный вопрос звучит следующим образом:"Верно ли это для произвольной (нётеровой) схемы X? Если нет, то какие условия нужно наложить на схему". Естественная догадка заключается в том, что это неверно. Например, из этого результата бы следовало, что Pic(Spec A[X])=0 для любого локального кольца А (так как Pic(A)=0 для любого локального кольца), а такой результат бы точно был написан во всех книжках по алгебраической геометрии. И, действительно, с некоторым трудом можно построить пример локального кольца А с Pic(A[X])\neq 0 (вероятно, есть и простой пример такого кольца А, но тот, который я знаю, не вполне очевидный). Однако в данном посте я расскажу другой контпример, который намного более естественный. Более того, для собственных многообразий над полем, которые имеют рациональную k-точку, можно дать критерий, при котором выполняется равенство Pic(X)=Pic(X\times A^1).

Давайте теперь переформулируем задачу в форме, в которой на неё будет легче ответить.

Пусть X -- любое собственное многообразие над полем k со структурным морфизмом p:X --> Spec k, тогда определим функтор Пикара как Pic_{X/k}:=R^1p_*\O_X^*, где под f_* мы понимаем прямой образ в большом этальной сайте. Совершенно нетривиальный факт гласит, что функтор Пикара Pic_{X/k} представим коммутативной групповой схемой. Хочу заметить, что это намного сложнее, чем доказательство Гротендика представимости функтора Пикара для геометрически целого проективного многообразия (см. FGA Explained), и было доказано Артином в его статье "Algebraization of Versal Deformations, I". Если же X имеет точку, то мы, кроме всего прочего, можем доказать, что Pic_{X/k}(S)=Pic(X\times S)/Pic(S) для любой k-схемы S (см. FGA Explained). В частности, так как Pic(A^1)=0, то мы заключаем, что при условии X(k)\neq 0, мы имеем Pic_{X/k}(A^1)=Pic(X\times A^1). В соответсвии с этим, мы можем переформулировать наш вопрос:

Вопрос Пусть X--собственная схема над полем k, такая что X(k) непусто. Верно ли, что Pic_{X/k}(k)=Pic_{X/k}(A^1)? Другими словами, существует ли непостоянное отображение f:A^1 --> Pic_{X/k}?

Теперь я хочу построить многообразие, в которое существует непостоянное отображение из G_a. Ответ достаточно простой, подходит любая каспидальная кривая. А именно, рассмотрим

С:=V(Y^2Z-X^3) \subset P^3_k, и обозначим за p:C --> Spec k структурный морфизм.

Рассмотрим нормализацию f:P^1 --> C (нормализация C равна P^1 есть стандартное упражнение), обозначим за p':P^1 --> Spec k структурный морфизм. Тогда у нас есть точная последовательность пучков в (малом) этальном сайте

0 --> \O_C^* --> f_* \O_{P^1}^* --> i_* \O_{Spec k} --> 0, где i:Spec k --> C замкнутое вложение единственной особой точки в C.

[Строго говоря, мы знаем, что такая последовательность пучков точна в категории пучков в топологии Зарисского. В случае этальной топологии мы всё ещё имеем данную последовательность пучков, и чтобы проверить точность достаточно проверять это послойно, что сводит вопрос к проверке точности на строгой гензелизации локального кольца в особенности C (нормализация коммутирует с строгой гензелизацией). На уровне строгой гензелизации уже можно доказывать точность на глобальных сечений, поэтому это довольно легко (можно свести к точности 0 --> \O_C --> f_* \O_{P^1} --> i_* \O_{Spec k} --> 0, а это можно проверять на пополнении (все пучки когерентные), где это сводится к прямым вычислениям). Доказывать точность этой последовательности в плоской топологии было бы куда сложнее!]

Теперь применим к данной короткой точной последовательности p_* и напишем соответствующую длинную точную последовательность высших прямых образов (и вспомним, что пучок \O_{Spec k} в этальной топологии по определению равен пучку G_{a,k}).

0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> (p\circ i)_*G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> R^1p_*\circ i_*G_{a,k} (*)

Заметим, что p\circ i=Id_{Spec k}, кроме того Supp(i_*G_{a,k})=Spec k, а значит все высшие прямые образы этого пучка зануляются. Из этого следует, что точная последовательность (*) может быть записана следующим образом:

0 --> p_*\O_C^* --> p'_* \O_{P^1}^* --> G_{a,k} --> R^1p_*\O_C^* --> R^1p'_*\O_{P^1}^*--> 0 (**)

Так как для любой R-алгебры k, p'_*\O_{P^1}^*(Spec R)=Г(P^1_R, \O_{P^1_R}^*)=R^*, а также p_*\O_{C}^*(Spec R)=Г(C_R, \O_{C_R}^*)=R^*. Таким образом первое отображение в точной последовательности (**) изоморфизм! Теперь, вспомнив определение функтора Пикара, заключаем, что имеет место следующая короткая точная последовательность:

0 --> G_{a,k} --> Pic_{C/k} --> Pic_{P^1/k}-->0.

Более того, Pic_{P^1/k}=\Z (равенство пучков! Более или менее, это эквивалентно равенству Pic(P^1_A)=\Z для любого локального кольца А. Это не очень сложно доказать при владении некоторой когомологической техникой, но это совершенно не очевидно. К сожалению, я не знаю никакой ссылки на этот факт), так что мы можем наконец заключить, что Pic_{C/k} есть расширение \Z при помощи G_a. В частности, существует нетривиальное отображение из A^1 в Pic_{C/k}, так как G_a=A^1 на уровне схем. То есть Pic(C)\neq Pic(C\times A^1) для нодальной кубики!

Заметим, что в этом случае мы доказали нечто большее, а именно, существует не только непостоянное отображение A^1 --> Pic_{C/k}, а существует даже подгруппа G_a \subset Pic_{C/k}. И оказывается, что на самом деле существование непостоянного отображения A^1 --> Pic_{C/k} равносильно существованию подгруппы изоморфной G_a.


Теорема: Пусть X -- cобственная схема над полем k, такая что X(k) непусто, тогда следующие условия эквивалентны:
1) Pic(X)\neq Pic(X\times A^1)
2) Существует непостоянное отображение f:A^1--> Pic_{X/k}
3) Pic_{X/k} содержит подгруппу изоморфную G_a.
Доказательство:
Мы уже обсудили эквивалентность 1) и 2). Условие 3) очевидно влечёт условие 2). Осталось доказать 2)=>3).

Докажем более общее утверждение: Пусть G--коммутативная групповая схема локально конечного типа над полем k, предположим, что существует непостоянное отображение A^1 --> G, тогда G содержит подгруппу изоморфную G_a.

Выберем точку 0\in A^1(k), образ f(0) есть k-точка схемы G. Обозначим эту точку за x\in G(k) и прокомпонируем f со сдвигом на -x, чтобы свести к случае f(0)=0. Так как A^1 есть связная схема, то f пропускается через связную компоненту G^0. Поэтому можно считать, что G -- связная групповая схема локально-конечного типа над k. Так как любая связная групповая схема локально-конечного типа над полем квази-компактна, то мы также можем считать, что G конечного типа.

Теперь мы хотим свести к случаю гладкой групповой схемы. Рассмотрим схемное замыкание точек G(k_{sep}) внутри G\otimes k_{sep} -- замены базы G на сепарабельное замыкание поля k. Это геометрически приведённая схема групповая схема над k_{sep} (Теорема 3.2.1). Кроме того, это подсхема замкнута относительно действия группы Галуа Gal(k_{sep}/k) => cпуск Галуа гарантирует, что эта замкнутая групповая подсхема спускается до замкнутой групповой подсхемы G'\subset G. Из построения G' -- геометрически приведённая подсхема. Так как k_{sep}-точки A^1(k_{sep}) плотны по Зарисскому в A^1, то мы заключаем, что любой морфизм f:A^1--> G пропускается через G'(для строгого доказательства сначала нужно сделать замену базы на k_{sep} доказать там, а потом воспользоваться cпуском). Следовательно мы можем считать, что G--геометрически приведённая групповая схема конечного типа. Отметим, что любая геометрически приведённая групповая схема является гладкой, поэтому мы свели к случаю G -- гладкая групповая схема конечного типа. Воспользовавшись, если нужно, опять аргументом из предыдущего абзаца, мы можем считать, что G кроме того связная.

В итоге, у нас есть отображение f:A^1 --> G c условием f(0)=0 и G -- гладкая связная коммутативная групповая схема конечного типа над k. Рассмотрим теперь замкнутую подгруппу H, порождённую f(A^1) (Утверждение 16.2.1). Тогда существует число n и набор e_{i}\in {+1/-1}, такой что F:A^n=A^1x...xA^1 --> G, определённое по правилу F(x_1,...,x_n)=f(x_1)^{e_1}f(x_2)^{e_2}...f(x_n)^{e_n}, сюрьективно отображается на H.

Я утверждаю, что H -- гладкая связная унипотентная подгруппа. Это условие можно проверять над алгебраическим замыканием, поэтому, сделав замену базы, можно считать, что k=\bar k. H -- гладкая связная группа по утверждению 16.2.1, осталось показать, что она унипотентная группа. Так как алгебраически замкнутые поля совершенны и H--гладкая и связная, то к H применимо разложение Шевалле (которое неверно без предположения совершенности базового поля!), а именно, существует гладкая связная нормальная линейная алгебраическая подгруппа H^{aff}, такая что X:=H/H^{aff} является абелевым многообразием. То есть существует точная последовательность

0 --> H^{aff} --> H -p-> X-->0.

По построению F:A^n -->H есть сюрьективное отображение, но p\circ F:A^n-->X есть нулевое отображение, так как из A^n нет непостоянных отображений в абелевы многообразия (все такие отображения продолжаются до отображений (P^1)^n-->X, но из P^1 нет отображений в X, так как P^1 имеет тривиальное альбанезе). С другой стороны p\circ F есть композиция двух сюрьективных отображений, а значит сюрьективное. То есть p\circ F одновременно сюрьективное и нулевое => X=0. Другими словами, H=H^{aff} есть линейная группа.

Любая линейная группа над алгебраически замкнутым полем есть произведение G_m^d\times U, где U -- унипотентная группа. Опять же заметим, что F:A^n-->H --> G_m^d должно быть сюрьективным морфизмом, как композиция сюрьективных морфизмов. С другой стороны, Hom_{Sch}(A^n,G_m^d)=Hom_{Sch}(A^n, G_m)^d=Г(k[x_1,...,x_n]^*)^d=(k^*)^d, то есть все отображения постоянные. Значит из сюрьективности F заключаем, что d=0, то есть H=U -- унипотентная группа.

Теперь возвращаемся к нашему оригинальному вопросу, где H -- подгруппа в G и поле k -- любое. Мы показали, что H -- связная гладкая унипотентная группа. Однако унипотентная группа не обязана иметь подгрупп изоморфных G_a, если она не является расщепимой (пример существует над любым несовершенным полем). Однако оказывается, что наличие сюрьективного отображения из A^n в H автоматически влечёт расщепимость этой группы! Это является одним из утверждений из теории Титса о строении унипотентных групп, например, это утверждение доказано здесь Следствие 3.9.