Ненётерово кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом
Примерно года полтора назад я нашёл следующую забавную лемму на стэкспроджекте:

Теорема: Пусть I конечно-порождённый идеал в кольце R, тогда нётеровость кольца R/I влечёт нётеровость R^ (пополнение в I-адической топологии).

Доказательство: https://stacks.math.columbia.edu/tag/05GH.

Следствие: Пусть R есть локальное полное (относительно топологии, заданной степенями максимального идеала) кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом \m, тогда R является нётеровым кольцом.

Следствие не суперважное, но достаточно интересное, и я пару раз применял его на практике. Естественный вопрос верно ли это следствие без предположения полноты. Не то, чтобы он было совсем уж наивным вопросом (как это демонстрирует следующая теорема), однако кажется, что ответ должен быть очевидно отрицательным.

Теорема (Cohen): Пусть R кольцо, в котором каждый простой идеал конечно-порождён, тогда R является нётеровым кольцом.
Доказательство: Matsumura "Commutative Ring Theory" Theorem 3.4.

Придумать пример ненётерова локального кольца с конечно-порождённым максимальным идеалом у меня долго не получалось, но внезапно (для меня) конструкция ультрапроизведения позволяет построить очень простой и понятный пример такой алгебры.

Контрпример: Возьмём любое локальное кольцо главных идеалов А с ненильпотентым максимальным идеалом \m (например, подходят кольца Z_{(p)} или Z_{p}) и выберем произвольный нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел \N. Под нетривиальным ультрафильтром я понимаю любой ультрафильтр, который содержит фильтр коконечных множеств (множество принадлежит фильтру, если его дополнение конечное), такой ультрафильтр существует по лемме Цорна (ультрафильтры это в точности максимальные фильтры). Везде далее ультрапроизведением я буду называть ультрапроизведение относительно какого-нибудь нетривиального ультрафильтра на множестве натуральных чисел \N.

Возьмём наконец ультрапроизведение счётного числа копий А относительно этого ультрафильтра. Что это значит? Сначала мы берём \prod_{i=1}^{\infty} A счётное произведение копий А, а потом факторизуем по соотношению (a_i)=(b_j), если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в нашем ультрафильтре (Далее если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в ультрафильтре, мы будем говорить, что a=b почти везде).

Обозначим теперь наше ультрапроизведение за A_*, у нас имеется сюрьективное отображение

\prod_{i\in \N} A --> A_*
(a) |--> [(a)] (квадратными скобками я обозначаю образ в факторе)


Лемма 1: Если А поле, то ультрапроизведение A_* является полем.
Доказательство: Рассмотрим любой ненулевой элемент [(a)]\in A_* и любой его представитель a\in \prod_{i\in \N} A. Так как он ненулевой, то множество индексов, где a_i=0 не лежит в ультрафильтре. Значит множество индексов i, где a_i\neq 0 лежит в ультрафильтре как дополнение до элементов вне ультрафильтра (определение ультрафильтра!). Поэтому класс [(a)] равен классу [(a')], где (a')_i=a_i, если a_i\neq 0 и a'_i=1 иначе. Но в таком случае a'\in (prod_{\i \in \N} A)* и класс [(a')^{-1}] является обратным к [a']=[a]. То есть элемент [a] - обратим.

Лемма 2: Если А локальное кольцо с максимальным идеалом \m, то ультрапроизведение A_* является локальным кольцом с максимальным идеалом (\m)_* (ультрапроизведение идеалов \m относительно того же выбранного заранее ультрафильтра) и полем вычетов (A/\m)_*.
Доказательство: Существует естественное отображение (\m)_* --> A_*, которое переводит элемент [(a)], где (a) \in \prod_{i\in \N} \m, в элемент [(a)], где (a) рассматривается как элемент произведения \prod_{i\in \N} A (идеал \m является подмножеством в A).

Это отображение очевидно инъективно из определения ультрапроизведения. Образ является идеалом, так как он состоит ровно из классов, у которых существует представитель (a), где все координаты a_i лежат в максимальном идеале \m. Заметим, что для проверки максимальности этого идеала достаточно проверить, что A_*/\m_*=(A/\m)_*, так как Лемма 2 гарантирует, что правая сторона равенства является полем.

Имеется очевидная стрелка A_* --> (A/\m)_* , и идеал (\m)_* лежит в ядре этого отображения. Сюрьективность этого отображения очевидна из определения, нужно проверить только инъективность. Действительно, пусть класс [(a)] переходит в нуль в (A/\m)_*, это означает, что для почти всех индексов i мы имеем a_i\in \m. Определим теперь элемент (a') как a'_i=a_i, если a_i\in \m, и a'_i=0 иначе. Из определения ультрапроизведения следует, что [(a)]=[(a')], но теперь класс [(a')] очевидно лежит в \m_* (представлен последовательностью со значениями в максимальном идеале для каждого индекса)! Таким образом [(a)]=\m_*.

Обобщая всё сказанное выше, получаем, что A_*/\m_* --> (A/\m)_* изоморфизм, а значит \m_* является максимальным идеалом в A_*.

Последняя часть доказательства -- проверить локальность кольца A_*. Локальность A_* равносильна тому, что любой элемент [(a)], который не лежит в максимальном идеале \m_*, является обратимым. Выберем любой элемент [(a)]\notin \m_*, тогда множество индексов i, таких что a_i\in \m_* не лежит в нашем ультрафильтре, а значит множество индексов i, что a_i\notin \m_* лежит в нашем ультрафильтре (как дополнение до множества вне ультрафильтра!). Сделаем стандартный трюк с заменой последовательности (a) на последовательность (a'), определённой по правилу a'_i=a_i, если a_i\notin \m_*, и a'_i=1 иначе. Тогда [(a)]=[(a')] и [(a')] уже обратим с обратным [(a'^{-1})], что и требовалось доказать.




Теперь вернёмся к нашему случаю, когда А -- локальная область главных идеалом с максимальным идеалом \m=(x). Тогда Лемма 2 говорит нам, что A_* -- это локальное кольцо с максимальным идеалом \m_*. Из определения \m_* следует, что этот идеал главный и порождён элементом [(x,x,x,x,x,x,x,...)]. То есть A_* есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом. Осталось доказать, что оно не может быть нётеровым.

Вспомним, что Теорема Крулля о Пересечении говорит, что в локальном нётеровом кольце пересечение всех степеней максимального идеала есть нулевой идеал. Покажем, что это не так в нашем случае.

Рассмотрим элемент t_1:=[(x, x^2, x^3, x^4,...)] (класс последовательности a_i=x^i) в A_*. Очевидно, что t_1 лежит в максимальном идеале \m_*. Далее заметим, что t_1=t_2:=[(x^2, x^2, x^3, x^4, ...)], так как наш ультрафильтр содержит все коконечные подмножества \N, делаем вывод, что изменение конечного числа элементов в последовательности не меняет его класс в ультрапроизвдении. Таким образом t=1=t_2 лежит в (\m_*)^2. Далее элемент t_1=t_3:=[(x^3, x^3, x^3, x^4, x^5, ...)] содержится в (\m_*)^3, продолжая увеличивать индекс t, получаем, что t_1=t_N:=[(x^N, ... N раз, x^N, x^{N+1}, x^{N+2}, ...)] \in (\m_*)^{N}. Как следствие,

t_1\in \cap_{i=1}^n (\m_*)^i.


Последняя вещь, которую осталось проверить, -- это что построенный элемент t_1 не равен нулю. Ровно в этом месте необходимо использовать условие на ненильпотентность идеала \m. Действительно, допустим, что t_1=0. Это значит, что множество индексов i, таких что x^i=0, лежит в нашем ультрафильтре. Пустое множество не лежит в ультрафильтре из определения ультрафильтра! Следовательно, существует некое M, что x^M=0. Но это противоречит ненильпотентности идеала \m=(x). Значит t_1\neq 0.

Таким образом мы проверили, что A_* является локальным кольцом с главным максимальным идеалом, но само при этом не является нётеровым!


Предудыщие работы на ту же тематику
https://www.youtube.com/watch?v=SZRKOcWuDA8