Я к Вам тоже присоединяюсь. Но Ваше определение предела -- неклассическое.

Большинство современных математических понятий претерпели значительные изменения со времён классиков. Это вполне естественно, так как классики занимались прежде всего получением новых содержательных результатов. А шлифовка определений, их модификация - это прерогатива скорее специалистов по методике преподавания математики (а также авторов учебников). При этом часто возникает не один, а несколько стандартов: стандарт школьной программы, стандарт вузовского курса (в разных вузах - разный), стандарт научной публикации и т.д. Даже в разных странах есть совершенно разные стандарты!

Разночтения в определениях столь широки, что даже понятие натурального числа имеет две версии. В школьной программе и в теории чисел натуральный ряд начинается с единицы, а в математической логике - с нуля! Примеров подобного рода - десятки, если не сотни.

Определение предела, о котором я говорю, является совершенно естественным в рамках общей топологии. Я не думаю, что обычный курс математики для инженеров должен базироваться на столь абстрактных вещах, поэтому, если бы я читал такой курс и вводил определение предела, то использовал бы упрощённую версию. Точно так же, понятие определённого интеграла в такого рода курсах проще всего вводить для непрерывной функции, а далее распространять его при необходимости и на более сложные случаи.

Угу. Кстати, Ваше "неклассическое" определение предела интуитивно понятно большинству участников дискуссии, они им пользуются и получают "ответ" -- ln2. За такой ответ мне бы в МЭИ в 1972 году поставили бы "двойку", не рассуждая. Если Вы думаете, что РТФ МЭИ -- "втуз", то Вы ошибаетесь:) Матанализ нам читал С.М.Похожаев, ныне академик, по "толстому", университетскому Фихтенгольцу (3 тома). Определения для меня святы. В данной задачке, конечно, вся фабула держится именно на знании определения, и ответ имеет смысл только с явным указаниям определения, по которому он даётся. Кстати, в этой же дискуссии "аноним" Игорь рассмотрел решение задачки и для комплексных функций.

{+}

Интересно, что я некоторое время подрабатывал в МЭИ почасовиком. Это было примерно в 1986-ом году, когда я учился в аспирантуре МГУ.

Я считаю, что в большинстве хороших московских вузов преподавание математики происходило на весьма высоком уровне, но тут есть одно "но": как правило, внимание было сосредоточено на содержательном математическом аппарате, т.е. изучалась классическая математика в духе XIX века. Это безусловно хорошо для тех, кто применяет математику как аппарат.

Я учился в школе по "колмогоровским" учебникам. Для меня очень важны вопросы оснований математики; я являюсь поборником строгого теоретико-множественного подхода, который в "классической" версии, как правило, не наличествует. Математические курсы в МГУ были построены как раз на новых принципах, с уклоном в "бурбакизм". Для тех, кто занимается чистой, а не прикладной математикой, это является преимуществом. Моя деятельность связана с алгеброй (с некоторым уклоном в математическую логику). Аналитического характера задачи иногда тоже возникают, но редко.

Я считаю вполне правомерным деление математики на "классическую" и "современную". В этом смысле мне, конечно, неизмеримо ближе современная.

Спасибо за разъяснение. Не хочу возбуждать агрессии с Вашей стороны, но я не приемлю "колмогоровского" подхода, хотя знаком с ним поверхностно по сравнению с Вами. Помню, когда моя дочка ещё училась в школе, я познакомился с колмогоровским учебником геометрии и пришёл в ярость. Ещё нам читали теорию вероятностей с колмогоровским подходом (теоретико-множественным). Если бы не широкое применение теории вероятностей в радиотехнических курсах, мы бы не знали по ней ничего. А так, всё-таки, уклониться не удалось:).
Мне по душе классический подход к методике, примерно повторяющий в процессе обучения путь познания той или иной теории человечеством.

{+}

С моей стороны не может быть агрессии: я очень терпимо отношусь к людям практически любых взглядов. (Нетерпимость может возникнуть только из-за поступков.)

"Новой" или "колмогоровской" программе я многим обязан. Именно она предопределила мой выбор заниматься математикой. Старые учебники у меня не возбуждали аппетита.

Я хорошо помню разговор со своим отцом перед тем, как идти в 6-й класс и начать заниматься по новому учебнику геометрии. Я открыл книгу, прочитал то, что там написано в первом параграфе и малость "прибалдел". Помню как сейчас: там было определение окружности, определение круга и определение геометрической фигуры вообще. Моё недоумение было легко развеяно после того, как отец ответил мне на несколько вопросов. С этого самого момента я, видимо, уловил общий замысел, и у меня более никогда не возникало ощущения противоестественности "новой" программы. Напротив, моё увлечение математикой как раз даже началось с геометрии, когда в 8-м классе я взял и начал по собственной инициативе решать из школьного учебника "дополнительные" задачи (те, к которым не было приведено ни ответов, ни указаний). Решение каждой из задач я аккуратно записывал. Такого рода "терапия" сыграла свою роль: к концу 9-го класса я изучил все школьные математические учебники до конца, и на уроках мне разрешали просто присутствовать, занимаясь чем угодно (я при этом решал олимпиадные задачи).

Замечу, что никаких особых способностей я за собой не могу отметить. Напротив: у меня отсутствует "смекалка", я часто довольно медленно воспринимаю новые для меня вещи. Но "колмогоровская" программа просто дала мне "ключ" сразу ко многим вещам. Когда я сейчас вижу, например, старые, "допотопные" определения функции (какие-то там "зависимости" между "величинами"), то мне становится очень грустно.

Может быть, я просто не так точно как Вы понимаю, что является колмогоровским, а что нет, в массиве моих представлений о математике. Давайте, я изложу определение функции в своём понимании, а Вы ответите, колмогоровское ли оно, хорошо?
______________________
Функцией f(x) -- называется любой способ, по которому каждому элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из некоторого множества Y. При этом множество X называют областью определения, а множество Y -- областью значений функции.
_____________________

Правильно это по-Вашему?

{+}

Да, правильно. Это фактически и есть школьное определение. Не прибегая к теоретико-множественной терминологии, сотоятельное определение дать затруднительно. Это определение является вполне понятным и удовлетворительным для школьных нужд. Есть только один маленький нюанс. Со строго формальной точки зрения не вполне ясно, что такое "способ". Поэтому формальное определение следующее (я использую сокращение \in для слова "принадлежит"). Функцией (отображением) из X в Y называется множество f, состоящее из упорядоченных пар вида (x,y), где x \in X, у \in Y, причём для каждого x \in X существует в точности один элемент y \in Y такой, что пара (x,y) принадлежит f. (Такой элемент однозначно зависит от x, и именно его далее разрешается обозначать через f(x).)

При таком подходе функция фактически отождествляется с её графиком. Преимуществом такого подхода является то, что вся математика строится на базе всего двух неопределяемых понятий - "множество" и "принадлежать". Но далее все без исключениями математические объекты совершенно строго определяются как те или иные множества. В этом и состоит основной замысел.

Вы могли заметить, что я использовал понятие упорядоченной пары. Оно тоже имеет строгое теоретико-множественное определение, но додуматься до него сходу очень непросто.

Я при изложении материала студентам обычно сочетаю обычный подход с формальным. То есть сначала даю "понятное" определение, а потом показываю, как от него можно перейти к строгому. В этом смысле я придерживаюсь того подхода, что надо знать обе вещи и уметь легко переводить с одного языка на другой.

Спасибо. Это действительно оригинально саму функцию выставить множеством (упорядоченных пар)! Мне понравилось. Но начинать надо с понятных вещей, а уже потом обобщать, формализовывать, минимизировать круг понятий... Например, держа в уме скалярное произведение обычных векторов, можно и в функциональном анализе ориентироваться:). Правда.
Мне кажется, что нужно эдакое "печёночное" понимание вещей, которое позднее можно облекать в изящные формулировки, типа приведённой Вами. А если сразу на ребёнка (студента) вывалить формализм, то он, скорее всего, отшатнётся, ощутит себя тупым и не полюбит математики. Ваш случай прихода к математике, по-моему, всё-таки особый:).

{+}