Настроение:	lonely
Музыка:	Гр. Полухутенко -- Имена
Entry tags:	геометрия, геометрия/элементарная

Кривые рода два и элементарная геометрия
Кривая рода два, двигаясь по K3-поверхности, параметризуема двумерным семейством в пространстве Тейхмюллера. Например, потому что всякая такая K3-поверхность есть двойное накрытие P^2, разветвлённое в секстике, а кривая рода два есть то, что висит над некоторой проективной прямой в ней, соответственно разветвлённое в точках пересечения. Прямые же на плоскости параметризуются двойственной плоскостью. А что за локус-то в Тейхмюллере возникает? Да пожалуйста, есть шесть точек пересечения, A, B, C, D, E, F. Воспринимая их как точки на проективной прямой, загоняем три из них в 0, 1 и \infty, а оставшиеся три как-то ездят по некоей поверхности в \C^3. А эти точки пересечения, как их посчитаешь-то?

Можно, однако, выродить секстику в объединение шести прямых. Тогда, фиксируя три из них и объвляя их 0, 1 и \infty -- то есть двумя координатными осями и бесконечно удалённой прямой -- видим, что три оставшиеся корректно определяют три двойных отношения -- равные отношению, в котором каждая из них делит отрезок, высекаемый координатными осями на подвижной прямой. Отсюда уже легко понять, что это за поверхность в \C^3. В самом деле, подпространство, параллельное координатному в этом C^3, пересекает эту поверхность по кривой, параметризующей прямые, для которых одно из трёх двойных отношений постоянно. В двойственной проективной плоскости этому соответствует следующее: на плоскости даны четыре точки, найти, какую кривую вычерчивает точка, двигающаяся так, что двойное отношение четырёх прямых, соединяющих эту подвижную точку с четыремя прибитыми, постоянно. Ответ: это коника, проходящая через эти пять точек (четыре прибитых и ту, которую мы начали двигать). Это более-менее теорема о вписанном угле: в самом деле, если две из прибитых точек это (\sqrt{-1} : 1 : 0) и (-\sqrt{-1} : 1 : 0) -- то есть пара бесконечно удалённых точек, через которые проходит всякая окружность -- то угол, возведённый с вершиной в подвижной точке на двух оставшихся, выражается как арктангенс от какого-то дробно-линейного выражения от этого двойного отношения (типа \sqrt{-1}\frac{1 + D}{1 - D}).

Итак, три двойных отношения для самой вырожденной секстики в P^2 параметризуют (квази)аффинную поверхность, плоские сечения которой являются кониками. Стало быть это аффинная квадрика. Деформируясь как алгебраическое многообразие, она должна была бы сохранять степень; следовательно, если мы чуть-чуть сгладим хотя бы две прямые из нашей шестилинейной конфигурации, на квадрике это скажется в страшных неалгебраических корчах. Впрочем, если одну прямую не трогать, то эта покорёженная квадрика всё ещё будет представляться в виде стопки аффинных коник.

Интересно, а можно ли вообще накрыть P^2, разветвившись в чём-то особом? Уравнение написать не проблема, но будет ли оно (частично) десингуляризовываться до особой K3-поверхности? Если да, то можно ли доказать при помощи K3-поверхностей теорему о том, что в шестиугольнике главные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда в него можно вписать конику?