Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет rodion n. déev ([info]deevrod)
@ 2020-12-13 12:40:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: pessimistic
Entry tags:геометрия, геометрия/задача Каповича

Кривые, лежащие на абелевых поверхностях
Придумал такое упражнение по линейной алгебре. Пусть у меня имеется вещественное векторное пространство V с симплектической формой \omega, и пусть L \subset V \o C -- некоторое подпространство (например вполне мнимое, но наверное это не очень важно). Тогда двойственный омеге бивектор в \Lambda^2(V) лежит в L \o \bar{L} \subset \Lambda^2(V \o C) тогда и только тогда, когда L лагранжево. В самом деле, (2,0)-часть \omega в комплексной структуре, заданной L (в предположении, что оно вполне мнимое), в точности соответствует значениям \omega на парах векторов из L (и, по симметрии, (0,2)-часть тоже).

Но отсюда например следует, что если V = V_Z \o R, а форма \omega целочисленная, то лагранжевость подпространства влечёт наличие целочисленного вектора в L \o \bar{L}. Очень тупо, но для меня это почему-то внове.

Это получилось естественно из размышлений об общности в задачи Каповича. Если у меня появилась пара дифференциалов \tau, приходящая с абелевой поверхности -- то есть такая, что линейная оболочка <\tau \cup \bar{\tau}> порождена своими целочисленными векторами -- то я могу начать воротить \tau в пределах этой оболочки (сохраняя, конечно, лагранжевость и ходжевость), и что могло бы воспрепятствовать тому, что соответствующая абелева поверхность не превратилась бы в комплексный тор, в коий никакой кривой отобразить невозможно? а вот выясняется, что лагранжевость и препятствует. Причём, кажется, при этом деформироваться будет и кривая -- по крайней мере, если не вывернуть \tau таким образом, чтобы у поверхности подскочил ранг Пикара (отсюда бы следовало, что представимость абелевыми дифференциалами для эллиптического случая -- это инвариант не подпространства \tau, а порождённого им вещественного подпространства). Говоря формально, если имеется семейство абелевых поверхностей над диском, и S -- кривая рода хотя бы два, лежащая в центральном слое, то при деформации в тотальном пространстве она сможет его покинуть. Для K3-поверхностей это конечно уже неверно.

Чтобы доказать это, давайте посмотрим на многообразие инцидентности TS(g) \subset Teich(g) x Sieg_2 -- пар из кривой рода g и абелевой поверхности, в которую её можно вложить с не хуже чем нормальными особенностями. Назовём его локусом Тейхмюллера-Зигеля, чтобы у Вениамина бомбануло. Нам надобно доказать, что проекция TS(g) \to Sieg_2 имеет открытый образ. Но для этого достаточно, чтобы на всякой абелевой поверхности с числом Пикара 1 имелась кривая рода g. Для якобиана это довольно понятно: если g = 2n, возьмём n сдвигов кривой рода два как единое целое, и сгладим его; если g = 2n-1, то сгладим все особенности, кроме одной (как в житии Петра и Февронии). Для этого аргумента кажется даже не нужен принцип Богомолова (согласно которому все особенности сглаживаются независимо друг от друга): можно искусственно сгладить всё, а потом одну особенность не мытьём, так катаньем заломить обратно.

Вообще вредоносность Медведева сильно недооценена: помимо петра-и-февроньи, например, заметил на днях, что скорее всего идея провести вместо Сталина в голосовании '100 великих русских' первым Александра Невского исходила от него (хотя где-то рядом болтались чуть более приличные Гагарин и Пушкин). Наверняка сидел в жеже со своего айфончика где-нить в блоге Кирилла Фролова и читал все хохлосрачи. Без него может и 2014 года бы не было, как знать. С другой стороны, в России чего не было, то обязательно будет. Увы.