Динамика на пространстве модулей абелевых бидифференциалов
На тотальном пространстве расслоения Ходжа есть известное SL(2, R)-действие: берём дифференциал, делаем его интегрированием по путям отображение развёртки из кривой в \C, на \C действуем перекосом, и получается отображение развёртки из другого дифференциала на другой кривой. Для каждой фиксированной матрицы оно конечно не голоморфно. Однако оно имеет комплексно-аналитическую природу: именно, подгруппа U(1) \subset SL(2, R) действует сохраняя слои (просто умножая дифференциал на комплексное число), так что в проекции в пространство Тейхмюллера орбита выглядит как SL(2, R)/U(1), сиречь единичный диск, ну и отображение это должно быть голоморфно. Во всяком случае, если абелев дифференциал поднимался с эллиптической кривой, то это отображение это просто отображение из пространства Тейхмюллера эллиптических кривых, когда мы комбинаторное данное ветвления оставляем как оно есть, а кривую меняем. (Кстати, какая касательная прямая к этому диску? Получается же нелинейное отображение H^{1,0}(S) \to H^1(T_S), ну или между их проективизациями скорее).

Это соображение было основанием для моей 'леммы о топологизации': если класс когомологий \alpha, удовлетворяющий условию Ходжа-Римана и порождающий вместе со своим сопряжённым рациональное подпространство U(\alpha) = span(\alpha \cup \bar{\alpha}), представим абелевым дифференциалом, то и всякий другой класс \alpha', порождающий то же подпространство U(\alpha') = U(\alpha) и удовлетворяющий условию Ходжа-Римана, представим абелевым дифференциалом (то есть представимость ходж-римановых эллиптических классов есть инвариант порождаемого ими рациональных подпространств). Аналогичную лемму тщился я доказать и для пар абелевых дифференциалов. И тогда я задумался: а может быть есть и аналог SL(2, R)-действия для пар?

Ну и если бы оно было, можно было бы рассмотреть тавтологический случай. Для эллиптический кривых SL(2, R)-действие это просто действие SL(2, R) на Teich(1) = SL(2, R)/U(1). Значит для кривых рода два его аналогом должно быть действие Sp(4, R) на их пространстве Тейхмюллера. Но его нет! Оно конечно есть на Sp(4, R)/U(2), верхнем полупространстве Зигеля; но не всякая главно поляризованная абелева поверхность является якобианом гладкой кривой: она может быть произведением двух эллиптических кривых (если конечно не считать формально такое произведение якобианом негладкой кривой рода два, состоящей из двух этих эллиптических кривых, склеенных по точке). То есть, может быть, если произвести с пространством Тейхмюллера какую-то частичную компактификацию, то Sp(4, R)-действие на пространстве модулей абелевых бидифференциалов (послойном грассманиане 2-плоскостей в расслоении Ходжа) можно будет завести.

Но даже если не заводить! даже если просто для кривых рода два: можно взять её матрицу периодов, умножить на общую матрицу из Sp(4, R), и получится матрица периодов какой-то другой кривой. Или, чтобы не говорить об общности, можно инфинитезимально всё то же самое сделать. Будет отображение из алгебры Ли sp(4, R) в H^1(T). Или можно сделать из якобиана кривой рода два куммерову поверхность, будет отображение из sp(4, R) в деформации K3-поверхностей.

В принципе у Макмуллена довольно подробный трактат именно про кривые рода два, там это всё наверняка должно содержаться.