Настроение:	awake
Entry tags:	геометрия

Шифферовские вариации
Пусть S риманова поверхность, и \gamma \subset S простой контур, ограничивающий диск. Если f \in Diff(\gamma) сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, будем обозначать за S_f результат склейки внутренности и внешности \gamma по диффеоморфизму f. Если f был вещественно-аналитическим, то и на внутренность и на внешность его можно аналитически продолжить до голоморфного отображения воротников, и таким образом ввести на S_f естественную структуру римановой поверхности. Приближая всякие диффеоморфизмы аналитическими, и учитывая, что S_f = S в случае, когда f -- мёбиусово преобразование (граничное значение голоморфного автоморфизма диска), можно таким образом построить отображение Diff/Moeb --> Teich(S). На факторе Diff/Moeb имеется комплексная структура имени Кириллова-Юрьева: касательное пространство к Diff это алгебра векторных полей на окружности; (1,0)-подпространство этой комплексной структуры это поля, у которых из ненулевых гармоник Фурье есть только те, что с положительными номерами (алгебра Ли moeb при этом сосредоточена на гармониках -1, 0, 1, так что в факторе гармоники с положительными номерами составляют в точности половину). Давайте проверим, что это отображение голоморфно.

Как это сделать? Надо написать явным образом дифференциал diff(S^1) \to H^0(K^2)^*. Если \xi -- векторное поле на \gamma, чему может равняться значение соответствующего оператора на квадратичном дифференциале q? Из соображений теории размерности ответ один: надо сделать подстановку \iota_\xi q и проинтегрировать получившуюся 1-форму по \gamma. Можно понять из соображений коциклов Чеха, что это правильный ответ.

Давайте напишем это в координатах. Выберем в диске, ограниченном \gamma, точку x, это задаст нам локальную координату z, в которой x = z(0), а \gamma = {z(e^{i\theta}) : \theta \in R}. В ней можно записать q = f(z)(dz)^2, и выбрать в векторных полях на окружности мнимый базис \xi_n = e^{in\theta}d/d\theta. Тогда интеграл выше запишется как \xi_n(q) = \int_{S^1}f(z)z^{n+1}dz. Отсюда можно сделать следующие выводы:

1. Если n > 1, то \xi_n действует нулём на всех квадратичных дифференциалах (стало быть, задаёт тривиальную деформацию),
   
2. \xi_{-2} есть нетривиальная деформация, ядро которой состоит из квадратичных дифференциалов с простым нулём в x,
   
3. Вообще \xi_{-m} есть линейный функционал, сообщающий квадратичному дифференциалу вида f(z)(dz)^2 член ряда Тейлора функции f с номером m-2.
   

В принципе, неясно, что противоречит тому, чтобы из 3g-3-мерного пространства квадратичных дифференциалов внезапно у всех оказался нулевой m-тый член ряда Тейлора для какого-то большого m. В таком случае \xi_{-m-2} будет тривиальной деформацией. Но очень сомнительно. Кроме того, подозреваю, что для общего выбора кривой, точки и локальной координаты деформации \xi_{-2}, \xi_{-3}, ... \xi_{-3g+2} будут линейно независимы, а все остальные деформации \xi_{-m}, m>3g-2, как-то через них выражаться. Наверняка это члены рядов Тейлора каких-нибудь функций Бейкера-Ахиезера. С другой стороны, у этого явно должно быть гомологическое описание, типа сизигии, точки Вейерштрасса и т. п.

Для кривых рода два это можно проверить в координатах кстати: реализуем её как двойное накрытие CP^1 с ветвлением в корнях многочлена пятой степени p(t) и в бесконечности, p(0) \neq 0, тогда около нуля базис глобальных квадратичных дифференциалов можно выбрать в форме (dt)^2/p(t), t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t). Если p(t) = t^5 + at^3 + bt^2 + ct + d, то имеем разложение 1/p(t) = 1/d - (c/d^2)t + ((c^2-bd)/d^3)t^2 + .... У других квадратичных дифференциалов из нашего базиса ряд Тейлора получается съезжанием этого вправо. То есть матрица верхне-треугольная, и следовательно шифферовские вариации \xi_{-2}, \xi_{-3}, \xi_{-4} порождают всё касательное пространство. Так скажем \xi_{-2} убивает оба дифференциала t(dt)^2/p(t), t^2(dt)^2/p(t), и следовательно является изопериодической деформацией для 1-формы tdt/\sqrt{p(t)}. К сожалению, для гиперэллиптических кривых более высокого рода произведения 1-форм порождают не все квадратичные дифференциалы, и ничего подобного сказать не оказывается возможным.

Зачем всё это? Мы знаем, что пространство Тейхмюллера хотя и неоднородно, но очень похоже на однородное (а действующая на нём группа классов отображений при этом похожа на решётку в группе Ли, действием которой оно и однородно). А тут мы его продоминировали однородным, хотя и бесконечномерным. Какие слои этого отображения? Их тоже можно представить геометрически на самом деле. А именно, пусть f -- близкий к тождественному диффеоморфизм окружности такой, что S_f = S. Тогда имеем голоморфную биекцию \psi_f : S_f \to S, и контур \psi_f(\gamma) \subset S, достаточно близкий к \gamma в силу близости f к тождественному (род S предполагаем большим). Это задаёт отображение из слоя вариации Шиффера в пространство простых контуров на S, которое тоже в своём роде однородное (потому что S униформизуется плоскостью Лобачевского). То есть пространство Diff(S^1)/Moeb(S^1) можно мыслить как локус в пространстве простых контуров на универсальной кривой над пространством Тейхмюллера. Мне кажется, несмотря на примитивность, это не вполне бессмысленно.