Настроение:	sad
Музыка:	Святослав Вакарчук та Христина Соловій - Гамерицький край

Ротор и 3-формы
Как объясняют в школе, физические величины делятся на скалярные и векторные, -- потому что подыманием-опусканием индексов можно любое (поли)(ко)векторное поле на трёхмерном многообразии сделать либо функцией, либо векторным полем. При этом используются два отождествления: TX --> T^*X, то есть риманова метрика, и \O_X --> K_X, то есть форма объёма. Форма объёма определяется метрикой, но не наоборот, а для некоторых изоморфизмов достаточно только формы объёма -- например, \Lambda^2 T^*X = TX \o K_X, и поэтому для отождествления 2-форм с векторными полями достаточно формы объёма. А что нужно для отождествления \Lambda^2 T^*X с T^*X? Если мы имеем это данное плюс форму объёма, то мы можем восстановить саму риманову метрику, скомпонировав соответствующие изоморфизмы в изоморфизм T^*X \to TX.

Этой зимой меня занимал очень похожий вопрос. Именно, мы знаем, что риманова метрика на трёхмерном многообразии даёт кэлерову структуру на его пространстве узлов, конформный класс римановой метрики -- комплексную структуру (кэлерова типа), а форма объёма -- симплектическую структуру. А что определяет риманову метрику на пространстве узлов, без специализации комплексной структуры? Вкупе с данным конформной структуры оно должно давать риманову метрику на трёхмерном многообразии, как следует из 2-из-3-свойства унитарной группы. Но никакой видимой связи между вопросами из первого и второго абзаца нету, что вызывает у меня некоторый ужас, примерно как когда видишь в зеркальном отражении то, чего нету на самом деле, и не видишь того, что есть. То, что конформная структура не даёт никакого изоморфизма векторных расслоений (а только сферизаций), добавляет мистичности к картинке. Впрочем, мне неочевидно, что для комплексной структуры на узлах нужна именно конформная структура на самом многообразии.

Возможный план был бы такой -- изоморфизм \Lambda^2 T^* \to T^* в композиции с дифференциалом де Рама даёт некий эндоморфизм пространства 1-форм (который в векторном дифференциальном исчислении называется ротором). Интегрированием по узлам 1-формы можно вложить в функции на пространстве узлов; продолжим этот эндоморфизм до дифференцирования алгебры функций. Сразу возникают очевидные проблемы -- надо понять, какую подалгебру в алгебре функций на узлах порождают интегралы 1-форм, и какие соотношения между ними возникают. Моя догадка (скорее всего, очевидно неверная) состоит в том, что соотношений там нет, и интегралы свободно мультипликативно порождают плотную подалгебру. Как это можно было бы доказывать, я не могу себе вообразить. Я даже какая топология на гладких функциях на многообразии Фреше понимаю очень плохо. На днях v_r жаловался, что kaledin не верит в многообразия Фреше, -- разумеется, он это делает не зря.

А задумался я вот почему. Под предыдущим постом tiphareth пояснил мне, что про связность Лиувилля-Арнольда на базах лагранжевых расслоений я думал совершенно неправильно. Именно, для того, чтобы показать, что сечения нормального расслоения к слою, параллельные относительно его родной связности, отображаются в замкнутые 1-формы, я пользовался неким неверным предположением на метрику, которой может даже и не быть вообще (когда тотальное пространство не голоморфно симплектическое, а просто симплектическое). Вместо этого надо пользоваться симплектической версией теоремы о трубчатой окрестности, открытой Вайнштейном: малая окрестность лагранжева подмногообразия симплектоморфна окрестности нулевого сечения кокасательного расслоения, с его родной симплектической формой, к этому самому лагранжеву подмногообразию. Соседние слои при таком отождествлении отобразятся в лагранжевы подмногообразия в кокасательном расслоении, то есть графики замкнутых 1-форм. Для коассоциативных подмногообразий в G_2-многообразиях подобная теорема о нормальной форме может быть верна лишь в формальных степенных рядах, потому что G_2-структура определяется римановой метрикой, а это вещь негибкая. Не вполне ясно даже, что должно быть аналогом кокасательного расслоения с его симплектической формой. Моя догадка была, что это тотальное пространство расслоения \Lambda^+(X) \subset \Lambda^2T^*X, собственного подрасслоения звёздочки Ходжа. На k-той внешней степени кокасательного расслоения, действительно, имеется тавтологическая k-форма, определяемая так же, как для k = 1 -- если проекция это \pi, а x \in \Lambda^kT^*X, то положим \mu_x(v_1, ..., v_k) = x((d\pi)(v_1), ..., (d\pi)(v_k)). Для k = 2 её дифференциал есть 3-форма, которая в случае, когда X -- K3-поверхность с метрикой Калаби, похоже, действительно ограничивается на подрасслоение, натянутое на формы \omega_I, \omega_J, \omega_K как фундаментальная форма приводимой G_2-структуры. При этом выбор перпендикулярного к слоям коассоциативного подрасслоения будет приходить из связности Леви-Чивиты на \Lambda^+(X), и для её интегрируемости, кажется, вообще не нужно наличия трёх параллельных форм (то есть гиперкэлеровости), а достаточно просто того, чтобы связность Леви-Чивиты была плоская. Я плохо соображаю, когда это имеет место, -- мне напели, это то же самое, что стабильность касательного расслоения.

Ну и вообще на самом деле хотелось бы избавиться от метрики, и просто пытаться выбрать подрасслоение ранга три в \Lambda^2T^*X, или даже подмногообразие коразмерности три в нём, чтобы на него эта 3-форма ограничивалась с голономией G_2. Наверняка ответ на все эти вопросы содержится в трудах Хитчина и Дональдсона, но я же не умею читать.

Возвращаясь к трёхмерным многообразиям. Для трёхмерных многообразий та же самая конструкция работает не хуже, и даёт 3-форму на чём-то шестимерном. Если бы у нас был изоморфизм T^*X = \Lambda^2T^*X, то можно было бы получить шестимерное многообразие, на котором есть и 2-, и 3-форма, то есть, при каких-то условиях на этот изоморфизм, трёхмерное многообразие Калаби-Яу, толико излюбленное физиками. Если трёхмерное многообразие снабжено подходящей целочисленной аффинной структурой, то слои можно было бы даже сделать торами. Впрочем, уж что-что, а это-то точно должно быть всем известно со времён Виттена и Концевича, и никому притом не интересно.